tag:blogger.com,1999:blog-6229483380896383782024-03-14T10:41:06.308+01:00BlogdemathsAnecdotes, articles et quelques modestes réflexions autour des mathématiques.
Pour la nouvelle version du site, aller sur http://blogdemaths.wordpress.comMathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.comBlogger52125tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-63233052036249321442010-11-12T17:12:00.002+01:002010-11-12T17:16:30.997+01:00Changement d'adresse...Bonjour à tous,<br /><br />le site a changé d'adresse. Désormais, ce blog sera hebergé ici:<br /><br /><a href="http://blogdemaths.wordpress.com/">blogdemaths.wordpress.com</a><br /><br />La principale raison de ce changement d'adresse est la possibilité d'écrire à l'aide de l'éditeur LaTeX sur wordpress.<br /><br />En espérant que ce changement d'adresse ne vous déroute pas trop.<br /><br />Et merci à tous les lecteurs de ce blog !Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-91643667414651233382009-06-05T17:02:00.003+02:002009-06-05T17:23:38.948+02:00Comment tracer un décagone ?Voici une manière de construire un décagone à la règle et au compas. Rappelons qu'un décagone est un polygone régulier à 10 côtés.<br /><br /><ol><li>Tracer un cercle (c1) de centre O; tracer un diamètre [IA] de ce cercle, puis le cercle (c2) de centre I et de rayon IA.</li><li>Construire un rayon [IB] perpendiculaire à [IA]. Tracer la droite (BO). Elle coupe le petit cercle (c1) en J et K avec BJ <></li><li>Construire le cercle (c3) de centre B passant par J. Ce cercle rencontre le grand cercle (c2) en B1 et en B9. Reporter la distance BB1 sur ce grand cercle: on note ce point B2. Construire de même B3, B4 etc.</li></ol><br /><br /><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://1.bp.blogspot.com/_7rIl24jSKxA/Sik130eeAaI/AAAAAAAAADg/AfWJBNUkwS4/s1600-h/ScreenHunter_01+Jun.+05+17.02.gif"><img style="margin: 0px auto 10px; display: block; text-align: center; cursor: pointer; width: 400px; height: 335px;" src="http://1.bp.blogspot.com/_7rIl24jSKxA/Sik130eeAaI/AAAAAAAAADg/AfWJBNUkwS4/s400/ScreenHunter_01+Jun.+05+17.02.gif" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5343861665947320738" border="0" /></a>Contrairement à ce qu'on pourrait croire, tous les polygones réguliers ne sont pas constructibles à la règle et au compas. Par exemple, il est impossible de construire à la règle et au compas un heptagone (polygone régulier à 7 côtés).<br /><br />La constructibilité ou non d'un polygone régulier à n côtés n'est possible que si le nombre n peut s'écrire comme le produit d'une puissance (éventuellement nulle) de 2 avec un ou plusieurs nombres de Fermat.<br /><br />Qu'appelle-t-on un nombre de Fermat ? C'est tout simplement un nombre qui peut s'écrire sous la forme 2^(2^q)+1 (avec q un certain nombre entier naturel). Par exemple, 5 est un nombre de Fermat car 5 = 2^(2^1) + 1.<br /><br />Revenons à notre décagone. Pourquoi est-il constructible alors ? Il faut remarquer que 10 = 2 x 5. C'est bien le produit d'une puissance de 2 avec un nombre de Fermat (5).Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-69615862278349976792009-04-18T23:59:00.003+02:002009-04-19T00:06:34.367+02:00Une citation de Dieudonné<blockquote><br /><br /><span style="font-style: italic;">« Le Calcul infinitésimal, [...], est l’apprentissage du<br />maniement des inégalités bien plus que des égalités, et<br />on pourrait le résumer en trois mot : MAJORER,<br />MINORER, APPROCHER. »</span> </blockquote><br /><br /><br /><div style="text-align: right;">Jean Dieudonné, Calcul Infinitésimal, (1968).<br /><div style="text-align: left;"><br />"Majorer", "minorer", "approcher". Trois termes auxquels on pourrait ajouter "découper" et "encadrer".<br /></div></div>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-73692686140111412112009-04-01T21:29:00.001+02:002009-04-01T22:04:41.856+02:00Extrait d'un poème de Victor Hugo<blockquote><span style="font-style: italic;">J'étais alors en proie à la mathématique.<br />Temps sombre ! Enfant ému du frisson poétique,<br />Pauvre oiseau qui heurtais du crâne mes barreaux,<br />On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux ;<br />On me faisait de force ingurgiter l'algèbre ;<br />On me liait au fond d'un Boisbertrand funèbre ;<br />On me tordait, depuis les ailes jusqu'au bec,<br />Sur l'affreux chevalet des X et des Y ;<br />Hélas ! on me fourrait sous les os maxillaires<br />Le théorème orné de tous ses corollaires ;<br />Et je me débattais, lugubre patient<br />Du diviseur prêtant main-forte au quotient.<br />De là mes cris.</span></blockquote><br /><br /><div style="text-align: right;">Victor Hugo<br /></div>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-39281020262440765522008-11-07T23:34:00.001+01:002008-11-07T23:36:20.657+01:00Quelques formules dues à Euler<a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://i147.photobucket.com/albums/r306/winnie_pooh_icrt/mathematics.jpg"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 300px; height: 450px;" src="http://i147.photobucket.com/albums/r306/winnie_pooh_icrt/mathematics.jpg" border="0" alt="" /></a>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-31592657586032009692008-10-26T18:53:00.001+01:002008-10-26T18:53:49.550+01:00Une citation de Hardy<blockquote><span style="font-style: italic;">317 is a prime, not because we think so, or because our minds are shaped in one way rather than another, but because it is so, because mathematical reality is built that way. </span></blockquote><br /><br />317 est un nombre premier, non pas parce que nous le pensons ou parce que notre esprit est façonné d'une certaine manière plutôt qu'une autre, mais parce que c'est ainsi, parce que la réalité mathématique est construite de cette façon.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-71303733895772582062008-09-04T22:35:00.011+02:002008-09-04T23:30:17.753+02:00Pourquoi la conjecture de Goldbach ne sera jamais démontrée par un amateurParmi les nombreux sujets qui fleurissent chaque jour sur les différents fora consacrés aux mathématiques, il en est certains qui sont récurrents. J'ai vu de nombreuses personnes clamer haut et fort qu'elles avaient démontré la conjecture de Goldbach, et ceci avec des outils élémentaires. Nonobstant, un examen minutieux par les différents participants à ces fora fait apparaître dans tous les cas une faille dans les preuves proposées.<br /><br />La conjecture de Goldbach est, dans son énoncé, d'une simplicité diabolique, ce qui la rend compréhensible par la plupart des profanes, et une bonne partie de ceux-là décide de s'attaquer à sa résolution. Cette entreprise serait parfaitement louable si les motivations de ces personnes n'étaient pas de prouver cette conjecture mais plutôt de l'étudier afin de comprendre pourquoi elle est aussi difficile.<br /><br />La plupart du temps, les preuves apportées par ces néophytes (que je ne dénigre pas du tout, bien au contraire) utilisent des outils élémentaires à savoir des outils enseignés au niveau du lycée voire au niveau BAC+1. Cela suppose donc implicitement qu'il existe une démonstration de cette conjecture d'une extrême simplicité. C'est de ce postulat de base qu'ils partent lorsqu'ils se lancent dans la recherche d'une démonstration.<br /><br />Cette conjecture est vieille de plus de 350 ans et a été soumise à de nombreux mathématiciens d'exception comme Leonhard Euler (sans aucun doute le plus grand mathématicien de son époque), Gauss ou encore d'immenses mathématiciens du XXème siècle (Hardy et Littlewood, Erdös, j'en passe et des meilleurs...). Si une démonstration simple existait de cette conjecture, nul doute que ces éminents talents l'auraient trouvée depuis un certain temps déjà. Un autre argument consiste à constater qu'une forme dite faible de la conjecture de Goldbach a été prouvée pour les nombres assez grands par le mathématicien Vinogradov en 1937. La preuve qu'il a proposée repose sur des concepts assez élaborés et sur une méthode (dite méthode du cercle) inventée par Hardy et Littlewood vers le début du XXème siècle. <span style="font-style: italic;">A fortiori</span>, la conjecture forte de Goldbach (celle qu'on connaît tous) sera difficilement prouvable de manière élémentaire.<br />Pourtant, le mythe selon lequel un amateur puisse un jour être soumis à une révélation et découvrir l'idée géniale que personne n'aurait trouvée depuis plus de trois siècles et demi subsiste toujours. En pratique, il n'existe pas d'exemple à ma connaissance d'amateur ayant résolu un problème très difficile de manière miraculeuse. Si je devais proposer une explication à cette légende bien ancrée dans la société, je pencherais sur la fascination qu'exerce les mathématiques sur les gens, et sur l'aura quasi-mystique qui les entoure. Peut-être vais-je briser des milliers de rêves (ou de cauchemars) en disant cela, mais les mathématiques sont tout simplement le fruit d'un long processus stratiforme.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com217tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-10651404461594688302008-08-29T19:18:00.005+02:002008-08-29T19:45:21.268+02:00Un nouveau nombre premier de Mersenne découvert ?Le 23 Août 2008, le site internet <a href="http://www.mersenne.org/">www.mersenne.org</a> annonçait la découverte d'un nouveau nombre premier de Mersenne. Avant d'expliquer ce que sont ces nombres, précisons que cette découverte a été faite <span style="font-style: italic;">via </span> un projet collaboratif où les calculs sont partagés sur les ordinateurs de milliers d'anonymes à travers le monde. Il suffit de télécharger un programme sur le site pour avoir la satisfaction de participer à la recherche de nouveaux nombres premiers de Mersenne.<br /><br />Mais qu'est-ce qu'un nombre premier de Mersenne alors ? C'est tout simplement un nombre premier qui peut s'écrire sous la forme <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?M_n=2%5En-1" align="middle" border="0" /> avec <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?n" align="middle" border="0" /> un certain entier. Par exemple, pour <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?n=2" align="middle" border="0" />, on a <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?M_2=2%5E2-1=3" align="middle" border="0" /> qui est premier. On montre aisément qu'une condition nécessaire pour qu'un tel nombre soit premier est que <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?n" align="middle" border="0" /> soit lui-même un nombre premier. Hélas, cette condition n'est pas suffisante, puisque par exemple <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?2%5E%7B11%7D-1=2047" align="middle" border="0" /> qui est divisible par <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?23" align="middle" border="0" />. Je dis bien "hélas" car cela aurait permis de trouver un moyen très commode de fabriquer très simplement des nombres premiers très grands. Avant le 23 Août dernier, le plus grand nombre premier de Mersenne connu était le nombre <img src="http://www.forkosh.dreamhost.com/mimetex.cgi?2%5E%7B32582657%7D-1" align="middle" border="0" /> qui se compose de 9808358 chiffres.<br /><br />Les vérifications concernant le dernier nombre premier de Mersenne qu'on aurait découvert ne sont pas encore terminées, et interviendront vers la mi-Septembre.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-66421841130894222902008-07-03T22:16:00.006+02:002008-07-07T20:15:13.627+02:00A rendre fou son banquier...<a href="http://bp0.blogger.com/_7rIl24jSKxA/SG00G3Xa2GI/AAAAAAAAAC0/sy4T-dlDKHY/s1600-h/Cheque-Maths.jpg"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;" src="http://bp0.blogger.com/_7rIl24jSKxA/SG00G3Xa2GI/AAAAAAAAAC0/sy4T-dlDKHY/s400/Cheque-Maths.jpg" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5218884835738310754" /></a><br /><br />Pour information, le montant du chèque est approximativement de 0,002 dollars.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-8640929968513449222008-06-29T20:04:00.002+02:002008-06-29T20:09:15.945+02:00De l'esprit humain en mathématiques<blockquote><em>Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine</em></blockquote><p align="right"><br />Kurt Gödel </p><br /><br />Soit les mathématiques sont trop grandes pour l'esprit humain, soit l'esprit humain est plus qu'une machine.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-45544310448724073772008-06-25T20:32:00.012+02:002008-06-25T21:12:02.228+02:00La comète de GoldbachUne très célèbre (et encore non résolue) conjecture en théorie des nombres stipule que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cette conjecture, appelée conjecture de Goldbach, a été énoncée au 18ème siècle et n'a, à ce jour, toujours pas été infirmée ou confirmée. Grâce à l'outil informatique, on suppose que cette conjecture est vraie. <br /><br />Si n est un entier impair, notons G(n) le nombre de façon d'écrire l'entier n comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, si n=4, alors il n'y qu'une seule telle façon d'écrire n: 2+2 (par convention, le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier). A présent, si n=10, alors il y a exactement deux façons d'écrire n comme la somme de deux nombres premiers: 3+7 et 5+5. <br /><br />Par conséquent, G(4)=1 et G(10)=2. On remarque que formulée autrement, la conjecture de Goldbach affirme que pour tout entier pair n, le nombre G(n) est non nul. <br /><br />Si on décide de représenter la fonction G sur un graphe, on obtient un tracé plutôt surprenant:<br /><br /><a href="http://farm1.static.flickr.com/101/313859587_cacc5ca84e.jpg?v=1165359801"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px;" src="http://farm1.static.flickr.com/101/313859587_cacc5ca84e.jpg?v=1165359801" border="0" alt="" /></a><br /><br />Ce graphe s'appelle la comète de Goldbach. Ce qui est fascinant est le fait que si on regarde localement, on constate un certain aléa des valeurs prises par G(n) alors qu'une vision plus globale fait apparaître une certaine régularité qui donne cette forme cométaire au graphe.<br /><br />Ce principe d'être localement aléatoire et globalement régulier est un principe qu'on retrouve souvent en théorie des nombres. Un exemple classique repose sur la répartition des nombres premiers et, à ce propos, citons Gérald Tenenbaum et Michel Mendès-France qui écrivent dans <em>Les nombres premiers</em> (Collection Que sais-je, éditions PUF):<br /><br /><blockquote><em> Les nombres premiers se comportent comme les "gaz parfaits" chers aux physiciens. Appréhendée d'un point de vue externe, la distribution est - pour ainsi dire - déterministe, mais dès que l'on cherche à décrire la situation en un point donné, on constate des fluctuations statistiques comme dans un jeu de hasard où l'on sait qu'en moyenne les faces équilibreront les piles mais où, à aucun moment, on ne peut prédire le coup suivant.</em></blockquote>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-48134804922878984382008-06-24T21:19:00.004+02:002008-06-29T20:10:18.612+02:00Une citation de Pólya<blockquote><em>Mathematics consists of proving the most obvious thing in the least obvious way.</em> </blockquote><p align="right"><br /><br />Pólya. </p><br /><br />Les mathématiques consistent à démontrer les choses les plus évidentes de la façon la moins évidente.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-68573571808457341292008-06-21T12:23:00.006+02:002008-06-21T12:40:31.898+02:00PatatoïdesEn mathématiques, un (et non pas "une") patatoïde est un solide de l'espace sans caractéristique particulière de symétrie, ni forme précise, contrairement par exemple à une ellipsoïde, ou encore une hyperboloïde. Par ce terme, on souhaite donc évoquer un objet spatial le plus général possible. Cependant, un patatoïde possède malgré tout quelques propriétés intéressantes: ce sont toujours des objets compacts (au sens topologique), connexes (c'est-à-dire d'un seul morceau) et même simplement connexes (c'est-à-dire sans trou).Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-42319154847730905652008-05-18T02:01:00.008+02:002008-05-18T02:38:31.860+02:00Le triangle de SierpinskiVoici un des exemples les plus connus de fractale (l'image provient de <a href="http://kfractales.free.fr">ce site</a>):<br /><br /><a href="http://kfractales.free.fr/Images/fractales/image047.gif"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px;" src="http://kfractales.free.fr/Images/fractales/image047.gif" border="0" alt="" /></a><br /><br />Cette fractale, appelée triangle de Sierpinski, est construite suivant une méthode plutôt simple dans l'idée. Premièrement, on se donne un triangle équilatéral "plein". Puis, on lui retire une partie de son intérieur, à savoir le triangle (équilatéral) dont les sommets sont les milieux des côtés du premier triangle. On obtient alors un triangle contenant trois petits triangles équilatéraux. On applique alors la même procédure à ceux-là: on enlève les triangles équilatéraux du milieux. Et ainsi de suite. <br /><br />Bien entendu, le nombre de triangles à retirer à chaque étape croît de manière exponentielle. Plus précisément, à la n-ème étape, on devra oter environ 3^n ("3 puissance n") triangles. A la vingtième intération, on aura alors enlever plus de 3 milliards de triangles.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-25945185088020575222008-04-11T18:36:00.006+02:002008-04-11T18:57:18.581+02:00Un ancien poisson d'Avril<div align="left">Il y a plus de 30 ans, précisément le 1er Avril 1975, Martin Gardner annonce dans une revue scientifique que le nombre:<br /><a href="http://prettyprint.free.fr/12112.png"><img style="WIDTH: 200px; CURSOR: hand" alt="" src="http://prettyprint.free.fr/12112.png" border="0" /></a><br />est entier. Etant donné les faibles performances des calculatrices de l'époque, il fut très difficile pour le lecteur moyen de le conterdire. De fait, les douze premières décimales sont des 9, de sorte que tout arrondi à moins de douze décimales près donnera un nombre entier. Il faut donc calculer au moins 13 décimales pour se rendre compte du canular, le développement décimal de ce nombre commençant par:<br /><br />262537412640768743,999999999999250072....</div><div align="left"><br />Ce poisson d'Avril n'aurait sans doute plus aucun intérêt de nos jours, le calul d'une vingtaine de décimales de ce nombre ne prenant que quelques secondes. On savait s'amuser à l'époque. </div>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-31537912530230997462008-03-30T23:35:00.004+02:002008-03-30T23:42:50.895+02:00Résolution d'un problème posé aux OlympiadesVoici un problème classique posé lors des Olympiades de mathématiques. Il s'agit de prouver la minoration par une constante d'une somme de fractions rationnelles de trois variables. La solution proposée a le mérite d'être accessible à un élève de lycée.<br /><br /><object width="425" height="355"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/CffzB8MuSSo&hl=fr"></param><param name="wmode" value="transparent"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/CffzB8MuSSo&hl=fr" type="application/x-shockwave-flash" wmode="transparent" width="425" height="355"></embed></object>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-80769418388616796612008-03-19T17:14:00.006+01:002008-03-19T17:28:19.351+01:004 milliards 9 ?Lors d'un journal télévisé, un journaliste voulant évoquer 4,9 milliards d'euros a parlé de "quatre milliards neuf". Une erreur aussi grossière se doit d'être corrigée puisque le nombre prononcé par le présentateur est 4 000 000 009, alors que la somme d'argent en jeu était de 4 900 000 000 d'euros, nombre qui se prononce "quatre milliards neuf cents millions". Tout au plus aurait-il pu dire "quatre virgule neuf milliards".<br /><br />On a beau dire, mais savoir parler en français permet d'éviter de faire des erreurs de 899 999 991 euros, ce qui est loin d'être négligeable.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-57264518609689950742008-03-09T10:11:00.008+01:002008-03-09T10:25:33.155+01:00Chuck Norris, homme de maths<p>Depuis quelques temps, les exploits du célèbre acteur américain Chuck Norris circulent sur le net. Et bien évidemment, les mathématiques n'échappent pas à Chuck Norris, car tout revient à Chuck Norris. Par exemple, sur le site <a href="http://chucknorrisfacts.fr/index.php">Chuck Norris facts</a>, on peut trouver les phrases suivantes: </p><ul><li>Chuck Norris a déjà compté jusqu'à l'infini. Deux fois. </li><li>Chuck Norris connait la dernière décimale de Pi.</li><li>Chuck Norris peut diviser par zéro.</li></ul><p>Pour ma part, j'ai noté les faits suivants (et qui sont avérés bien entendu) :</p><ul><li>Chuck Norris a prouvé la conjecture de Riemann. Il en a donné sept démonstrations différentes, dont deux utilisant le théorème de Thalès.</li><li>Chuck Norris peut résoudre des équations polynomiales de degré supérieur à 5 par radicaux.</li><li>Chuck Norris sait paver le plan de 31 façons distinctes.</li><li>La quadrature du cercle est impossible parce que Chuck Norris l'a voulu.</li><li>Euler est le plus grand mathématicien de tous les temps, après Chuck Norris.</li><li>Chuck Norris peut faire tenir la démonstration du théorème de Fermat dans une marge. </li><li>Chuck Norris a déjà énuméré tous les nombres réels.</li><li>Chuck Norris peut remplir la bouteille de Klein. </li><li>Chuck Norris ne démontre pas les théorèmes. Ce sont les théorèmes qui se démontrent pour lui.</li><li>L'unité de mesure représentant 10^1000 mètres est le Chuck Norris.</li></ul><p>A vous de trouver ses autres exploits mathématiques!</p>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-65936302181395541042008-03-04T01:41:00.017+01:002008-09-04T23:41:08.513+02:00Des donuts dans l'alphabetVoici une tasse:<br /><a href="http://eagereyes.org/media/attachments/Guggenheim_Mug.jpg"><img style="margin: 0px auto 10px; display: block; width: 320px; text-align: center;" alt="" src="http://www.restaurantequipment.com/images/tw-80.jpg" border="0" /></a><br /><br />Et voici un donut (célèbre patisserie américaine):<br /><a href="http://funkyimg.com/u/74223donut.png"><img style="margin: 0px auto 10px; display: block; width: 320px; text-align: center;" alt="" src="http://bookingbuddy.typepad.com/photos/uncategorized/2008/06/03/pink_sprinkled_donut.jpg" border="0" /></a><br /><br />Mais quel peut bien être le rapport entre ces deux choses et les mathématiques ? Il n'est pas évident à trouver <em>a priori</em>. Examinons la boutade suivante:<br /><br /><blockquote><em>Un spécialiste de topologie est quelqu'un qui ne fait pas la différence entre une tasse et un donut.</em> </blockquote><br />Les topologistes auraient donc des problèmes de vue ? Pas vraiment (du moins pas tous!) et voyons pourquoi. La topologie est une branche des mathématiques qui s'occupe (entre autres!) des formes des objets et de la déformation de ceux-là par des actions qu'on pourrait qualifier de non brutales: couper un objet avec des ciseaux ou bien fusionner deux morceaux avec de la colle ne sont pas autorisés. Imaginez de la pâte à modeler que vous modifieriez uniquement à l'aide de vos doigts, sans jamais détacher un seul morceau: c'est ce genre de transformations dont il s'agit en topologie. Pour être précis, ces transformations sont appelées (dans le jargon mathématique) des applications continues. Le terme "continues" évoque bien cette idée selon laquelle on ne découpe pas les formes, ni ne les recolle.<br /><br />Revenons à nos donuts, ou plutôt à nos moutons. Comment faire pour passer d'une tasse à un donut <em>via</em> une transformation continue ? On peut par exemple, en supposant que l'on puisse manipuler la tasse telle de la pâte à modeler, contracter le corps de la tasse sur sa partie commune avec son anse. Comme un bon schéma vaut mieux que des lignes d'explications, la transformation effectuée est décrite par la figure suivante:<br /><a href="http://www.design.udk-berlin.de/uploads/ID5.WasIstTopologie/Tasse.jpg"><img style="margin: 0px auto 10px; display: block; width: 320px; text-align: center;" alt="" src="http://www.design.udk-berlin.de/uploads/ID5.WasIstTopologie/Tasse.jpg" border="0" /> </a><p align="left"><br />Il faut savoir qu'en topologie, on identifie deux objets qui sont tels qu'on peut passer de l'un à l'autre par une transformation continue, c'est-à-dire qu'ils sont indiscernables topologiquement parlant. D'où la boutade ci-dessus.<br /><br />Amusons-nous encore un peu, cette fois-ci avec les lettres de l'alphabet. Quelles lettres de l'alphabet (écrites en capitale) ont topologiquement la même forme qu'un donut ? Voici les lettres: </p><p align="center"><br />ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ</p><br /><br />Les lettres apparentées à un donut (ou à une tasse!) sont A, D, O, Q, P et R. Les lettres C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y et Z s'apparent à un point. Quant à la lettre B, elle s'identifie à deux donuts qui seraient collés ensemble, comme dans la figure ci-après:<br /><a href="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DoubleTorus_800.gif"><img style="margin: 0px auto 10px; display: block; text-align: center; cursor: pointer; width: 320px;" src="http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/DoubleTorus_800.gif" alt="" border="0" /></a>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-77251822592872826212008-02-26T00:27:00.003+01:002008-02-26T00:33:21.510+01:00Visualiser un système chaotique avec un jeu pour enfantInutile d'aller chercher très loin pour trouver un système chaotique. Un simple jeu pour enfant bien utilisé permet d'en créer un!<br /><br /><br /><object width="425" height="355"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/Qe5Enm96MFQ&rel=1"></param><param name="wmode" value="transparent"></param><embed src="http://www.youtube.com/v/Qe5Enm96MFQ&rel=1" type="application/x-shockwave-flash" wmode="transparent" width="425" height="355"></embed></object><br /><br />Le principe: au-dessus du sommet de quel couleur va s'arrêter le pendule lorsqu'il est lancé d'une position donnée ? Il est impossible de donner une réponse, puisqu'un changement minime dans la position initiale peut changer le sommet d'arrivée.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-14105204950392113632008-02-22T21:18:00.002+01:002008-02-22T21:24:05.763+01:00Ce que dirait Fermat de nos joursPierre de Fermat (1601-1665), auteur de la plus célèbre conjecture mathématique de tous les temps, a écrit (à propos de celle-ci) dans la marge d'un de ses cahiers:<br /><br /><blockquote> <em>J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.</em> </blockquote><br /><br />S'il avait vécu de nos jours, nul doute qu'il aurait dit la chose suivante:<br /><br /><blockquote> <em>J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais mon disque dur n'a plus assez d'octets pour la contenir.</em> </blockquote>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-71057276118437246572008-02-19T11:30:00.021+01:002008-02-19T18:08:46.296+01:00Un arbre des mathématiques<a href="http://1.bp.blogspot.com/_7rIl24jSKxA/R7q11iNCj2I/AAAAAAAAACk/QvCPVbdjsLk/s1600-h/ScreenHunter_01+Feb.+19+11.55.gif"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;" src="http://1.bp.blogspot.com/_7rIl24jSKxA/R7q11iNCj2I/AAAAAAAAACk/QvCPVbdjsLk/s400/ScreenHunter_01+Feb.+19+11.55.gif" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5168643453680258914" /></a><br /><br />Ce schéma (tiré de l'article suivant <a href="http://arxiv.org/abs/gr-qc/9704009">de Max Tegmark</a>) représente certains liens entre différentes notions des mathématiques utiles en physique (cliquer sur l'image pour agrandir). Puisque son but est de montrer quels sont les notions mathématiques (et leur provenance) présentes dans les deux branches de la physique que sont la théorie quantique des champs et la relativité générale, il est normal de ne pas trouver des pans entiers des mathématiques, comme la théorie des nombres ou la géométrie algébrique... Et bien qu'il soit non exhaustif (et forcément incomplet puisque ne figurent pas des théories usitées en physique quantique comme celle des probabilités) il donne une impression assez probante sur la complexité des connexions entre les différents concepts de cette discipline, souvent considérée (à tort) comme un bloc monolithique. <br /><br />Ce schéma se lit de la manière suivante: les concepts de base sont situés sur la partie inférieure. On y trouve des notions issues de la branche des mathématique appelée <em>logique</em>, comme les systèmes formels. Puis en remontant on trouve les concepts de nombre naturels (natural numbers), de nombres relatifs (integers) et en parallèle, les espaces topologiques (topological spaces), les anneaux (rings), les corps (fields)...Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-21689868952640337042008-02-13T17:29:00.007+01:002008-02-13T17:38:07.817+01:00L'amour et les maths<div align="center"><a href="http://imgs.xkcd.com/comics/useless.jpg"><img style="DISPLAY: block; MARGIN: 0px auto 10px; WIDTH: 400px; CURSOR: hand; TEXT-ALIGN: center" alt="" src="http://imgs.xkcd.com/comics/useless.jpg" border="0" /></a><br /><br /><em>Mon approche habituelle est inutile ici. </em></div><div align="center"></div><div align="left"><em></em></div><div align="left"><br /><br />En clair, essayer d'appliquer des méthodes rationnelles pour résoudre des problèmes qui ne le sont n'est que pure chimère...</div>Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-38705560095202346892008-02-12T21:31:00.002+01:002008-02-19T11:59:14.145+01:00Une montagne, du sable et des mathsJe ne résiste pas à l'envie de soumettre la citation d'Ian Stewart suivante:<br /><br /><blockquote> <em>C'est comme une expédition qui doit contourner une montagne infranchissable. Au début, vous pouvez voir le sommet à conquérir. Mais il n'y a pas de moyen pour l'escalader. Alors l'expédition s'enfonce dans le désert, essayant de contourner la montagne afin d'éviter le sommet. Mais les techniques nécessaires pour survivre dans le désert ne sont pas les mêmes que celles qui vous aident à escalader les montagnes. Vous finissez donc par fabriquer des spécialistes en cactus, en serpents à sonnettes, en araignées et en écoulement de dunes dans le vent, des spécialistes qui en savent long sur le débordement des oueds, et plus personne ne se préoccupe de la neige, des cordes, des crampons ni des piolets. Alors quand un montagnard demande au « sablologue » pourquoi il étudie les dunes, et qu'il lui est répondu : « Pour contourner cette montagne », il n'en croit pas un mot. Et tout s'aggrave quand la réponse est : « Je me fiche comme d'une guigne des montagnes ; les dunes sont bien plus amusantes. » Mais la montagne est toujours là, et le désert l'entoure toujours. Et si les « désertologues » font correctement leur travail, même s'ils ont oublié la montagne, la montagne un jour cessera d'être un obstacle.</em> </blockquote><br /><br />Le "c'est" initial dénomme bien entendu l'action de faire des mathématiques, la montagne représentant un théorème à prouver, une conjecture à infirmer ou une nouvelle théorie à créer.<br />L'exemple le plus célèbre du fait qu'il ait fallu de nombreux détours pour montrer un théorème est sans conteste celui du théorème de Fermat. La montagne est cet énoncé si court, et pourtant si profond qui a donneé du fil à retordre à des générations de mathématiciens pendant presque quatre siècles:<br /><blockquote><em>Il n’est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d’exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant.</em> </blockquote><br /><br /> Pour prouver la véracité de ce théorème, il a fallu explorer de nouveaux champs des mathématiques, et le désert entourant cette montagne s'est trouvé être la théorie des formes modulaires et des courbes elliptiques...Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-622948338089638378.post-9462593551984202942008-02-11T21:57:00.001+01:002008-02-12T21:49:41.299+01:00Démontrer le théorème de Pythagore avec... de l'eauVoici une vidéo très amusante concernant le théorème de Pythagore:<br /><br /><object height="355" width="425"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/hbhh-9edn3c&rel=1"><param name="wmode" value="transparent"><embed src="http://www.youtube.com/v/hbhh-9edn3c&rel=1" type="application/x-shockwave-flash" wmode="transparent" width="425" height="355"></embed></object><br /><br /><br />En quoi cette petite expérience permet de visualiser une démonstration du théorème de Pythagore ? Voici une petite explication.<br /><br />Le théorème de Pythagore affirme que si le triangle ABC est rectangle en C (voir figure ci-après), alors:<br /><div align="center">c² = a² + b²</div><br /><br /><a href="http://1.bp.blogspot.com/_7rIl24jSKxA/R7C7-CNCj1I/AAAAAAAAACc/duJf9JZXxIs/s1600-h/ScreenHunter_01+Feb.+11+22.17.gif"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;" src="http://1.bp.blogspot.com/_7rIl24jSKxA/R7C7-CNCj1I/AAAAAAAAACc/duJf9JZXxIs/s400/ScreenHunter_01+Feb.+11+22.17.gif" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5165835447011807058" /></a><br /><br />Cela revient exactement à montrer que la somme des aires des deux plus petits carrés est égale à l'aire du plus grand carré. <br /><br />Dans la vidéo ci-dessus, on a rempli les deux plus petits carrés avec de l'eau, et on verse ce liquide dans le troisième carré. On constate que l'eau remplit parfaitement le troisième carré.<br /><br />Bien entendu, cela ne constitue pas une démonstration en tant que telle, mais il semble que cette expérience permet de se construire une caractérisation visuelle de ce que représente ce théorème qui peut paraître si abstrait à certains.Mathshttp://www.blogger.com/profile/01752800591926839912noreply@blogger.com0