Blogdemaths

Changement d'adresse...

2010-11-12T17:12:00.002+01:00

Bonjour à tous,

le site a changé d'adresse. Désormais, ce blog sera hebergé ici:

blogdemaths.wordpress.com

La principale raison de ce changement d'adresse est la possibilité d'écrire à l'aide de l'éditeur LaTeX sur wordpress.

En espérant que ce changement d'adresse ne vous déroute pas trop.

Et merci à tous les lecteurs de ce blog !

Comment tracer un décagone ?

2009-06-05T17:02:00.003+02:00

Voici une manière de construire un décagone à la règle et au compas. Rappelons qu'un décagone est un polygone régulier à 10 côtés.

Tracer un cercle (c1) de centre O; tracer un diamètre [IA] de ce cercle, puis le cercle (c2) de centre I et de rayon IA.
Construire un rayon [IB] perpendiculaire à [IA]. Tracer la droite (BO). Elle coupe le petit cercle (c1) en J et K avec BJ <>
Construire le cercle (c3) de centre B passant par J. Ce cercle rencontre le grand cercle (c2) en B1 et en B9. Reporter la distance BB1 sur ce grand cercle: on note ce point B2. Construire de même B3, B4 etc.

Contrairement à ce qu'on pourrait croire, tous les polygones réguliers ne sont pas constructibles à la règle et au compas. Par exemple, il est impossible de construire à la règle et au compas un heptagone (polygone régulier à 7 côtés).

La constructibilité ou non d'un polygone régulier à n côtés n'est possible que si le nombre n peut s'écrire comme le produit d'une puissance (éventuellement nulle) de 2 avec un ou plusieurs nombres de Fermat.

Qu'appelle-t-on un nombre de Fermat ? C'est tout simplement un nombre qui peut s'écrire sous la forme 2^(2^q)+1 (avec q un certain nombre entier naturel). Par exemple, 5 est un nombre de Fermat car 5 = 2^(2^1) + 1.

Revenons à notre décagone. Pourquoi est-il constructible alors ? Il faut remarquer que 10 = 2 x 5. C'est bien le produit d'une puissance de 2 avec un nombre de Fermat (5).

Une citation de Dieudonné

2009-04-18T23:59:00.003+02:00

« Le Calcul infinitésimal, [...], est l’apprentissage du
maniement des inégalités bien plus que des égalités, et
on pourrait le résumer en trois mot : MAJORER,
MINORER, APPROCHER. »

Jean Dieudonné, Calcul Infinitésimal, (1968).

"Majorer", "minorer", "approcher". Trois termes auxquels on pourrait ajouter "découper" et "encadrer".

Extrait d'un poème de Victor Hugo

2009-04-01T21:29:00.001+02:00

J'étais alors en proie à la mathématique.
Temps sombre ! Enfant ému du frisson poétique,
Pauvre oiseau qui heurtais du crâne mes barreaux,
On me livrait tout vif aux chiffres, noirs bourreaux ;
On me faisait de force ingurgiter l'algèbre ;
On me liait au fond d'un Boisbertrand funèbre ;
On me tordait, depuis les ailes jusqu'au bec,
Sur l'affreux chevalet des X et des Y ;
Hélas ! on me fourrait sous les os maxillaires
Le théorème orné de tous ses corollaires ;
Et je me débattais, lugubre patient
Du diviseur prêtant main-forte au quotient.
De là mes cris.

Victor Hugo

Quelques formules dues à Euler

2008-11-07T23:34:00.001+01:00

Une citation de Hardy

2008-10-26T18:53:00.001+01:00

317 is a prime, not because we think so, or because our minds are shaped in one way rather than another, but because it is so, because mathematical reality is built that way.

317 est un nombre premier, non pas parce que nous le pensons ou parce que notre esprit est façonné d'une certaine manière plutôt qu'une autre, mais parce que c'est ainsi, parce que la réalité mathématique est construite de cette façon.

Pourquoi la conjecture de Goldbach ne sera jamais démontrée par un amateur

2008-09-04T22:35:00.011+02:00

Parmi les nombreux sujets qui fleurissent chaque jour sur les différents fora consacrés aux mathématiques, il en est certains qui sont récurrents. J'ai vu de nombreuses personnes clamer haut et fort qu'elles avaient démontré la conjecture de Goldbach, et ceci avec des outils élémentaires. Nonobstant, un examen minutieux par les différents participants à ces fora fait apparaître dans tous les cas une faille dans les preuves proposées.

La conjecture de Goldbach est, dans son énoncé, d'une simplicité diabolique, ce qui la rend compréhensible par la plupart des profanes, et une bonne partie de ceux-là décide de s'attaquer à sa résolution. Cette entreprise serait parfaitement louable si les motivations de ces personnes n'étaient pas de prouver cette conjecture mais plutôt de l'étudier afin de comprendre pourquoi elle est aussi difficile.

La plupart du temps, les preuves apportées par ces néophytes (que je ne dénigre pas du tout, bien au contraire) utilisent des outils élémentaires à savoir des outils enseignés au niveau du lycée voire au niveau BAC+1. Cela suppose donc implicitement qu'il existe une démonstration de cette conjecture d'une extrême simplicité. C'est de ce postulat de base qu'ils partent lorsqu'ils se lancent dans la recherche d'une démonstration.

Cette conjecture est vieille de plus de 350 ans et a été soumise à de nombreux mathématiciens d'exception comme Leonhard Euler (sans aucun doute le plus grand mathématicien de son époque), Gauss ou encore d'immenses mathématiciens du XXème siècle (Hardy et Littlewood, Erdös, j'en passe et des meilleurs...). Si une démonstration simple existait de cette conjecture, nul doute que ces éminents talents l'auraient trouvée depuis un certain temps déjà. Un autre argument consiste à constater qu'une forme dite faible de la conjecture de Goldbach a été prouvée pour les nombres assez grands par le mathématicien Vinogradov en 1937. La preuve qu'il a proposée repose sur des concepts assez élaborés et sur une méthode (dite méthode du cercle) inventée par Hardy et Littlewood vers le début du XXème siècle. A fortiori, la conjecture forte de Goldbach (celle qu'on connaît tous) sera difficilement prouvable de manière élémentaire.
Pourtant, le mythe selon lequel un amateur puisse un jour être soumis à une révélation et découvrir l'idée géniale que personne n'aurait trouvée depuis plus de trois siècles et demi subsiste toujours. En pratique, il n'existe pas d'exemple à ma connaissance d'amateur ayant résolu un problème très difficile de manière miraculeuse. Si je devais proposer une explication à cette légende bien ancrée dans la société, je pencherais sur la fascination qu'exerce les mathématiques sur les gens, et sur l'aura quasi-mystique qui les entoure. Peut-être vais-je briser des milliers de rêves (ou de cauchemars) en disant cela, mais les mathématiques sont tout simplement le fruit d'un long processus stratiforme.

Un nouveau nombre premier de Mersenne découvert ?

2008-08-29T19:18:00.005+02:00

Le 23 Août 2008, le site internet www.mersenne.org annonçait la découverte d'un nouveau nombre premier de Mersenne. Avant d'expliquer ce que sont ces nombres, précisons que cette découverte a été faite via un projet collaboratif où les calculs sont partagés sur les ordinateurs de milliers d'anonymes à travers le monde. Il suffit de télécharger un programme sur le site pour avoir la satisfaction de participer à la recherche de nouveaux nombres premiers de Mersenne.

Mais qu'est-ce qu'un nombre premier de Mersenne alors ? C'est tout simplement un nombre premier qui peut s'écrire sous la forme avec un certain entier. Par exemple, pour , on a qui est premier. On montre aisément qu'une condition nécessaire pour qu'un tel nombre soit premier est que soit lui-même un nombre premier. Hélas, cette condition n'est pas suffisante, puisque par exemple qui est divisible par . Je dis bien "hélas" car cela aurait permis de trouver un moyen très commode de fabriquer très simplement des nombres premiers très grands. Avant le 23 Août dernier, le plus grand nombre premier de Mersenne connu était le nombre qui se compose de 9808358 chiffres.

Les vérifications concernant le dernier nombre premier de Mersenne qu'on aurait découvert ne sont pas encore terminées, et interviendront vers la mi-Septembre.

A rendre fou son banquier...

2008-07-03T22:16:00.006+02:00

Pour information, le montant du chèque est approximativement de 0,002 dollars.

De l'esprit humain en mathématiques

2008-06-29T20:04:00.002+02:00

Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine

Kurt Gödel

Soit les mathématiques sont trop grandes pour l'esprit humain, soit l'esprit humain est plus qu'une machine.

La comète de Goldbach

2008-06-25T20:32:00.012+02:00

Une très célèbre (et encore non résolue) conjecture en théorie des nombres stipule que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cette conjecture, appelée conjecture de Goldbach, a été énoncée au 18ème siècle et n'a, à ce jour, toujours pas été infirmée ou confirmée. Grâce à l'outil informatique, on suppose que cette conjecture est vraie.

Si n est un entier impair, notons G(n) le nombre de façon d'écrire l'entier n comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, si n=4, alors il n'y qu'une seule telle façon d'écrire n: 2+2 (par convention, le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier). A présent, si n=10, alors il y a exactement deux façons d'écrire n comme la somme de deux nombres premiers: 3+7 et 5+5.

Par conséquent, G(4)=1 et G(10)=2. On remarque que formulée autrement, la conjecture de Goldbach affirme que pour tout entier pair n, le nombre G(n) est non nul.

Si on décide de représenter la fonction G sur un graphe, on obtient un tracé plutôt surprenant:

Ce graphe s'appelle la comète de Goldbach. Ce qui est fascinant est le fait que si on regarde localement, on constate un certain aléa des valeurs prises par G(n) alors qu'une vision plus globale fait apparaître une certaine régularité qui donne cette forme cométaire au graphe.

Ce principe d'être localement aléatoire et globalement régulier est un principe qu'on retrouve souvent en théorie des nombres. Un exemple classique repose sur la répartition des nombres premiers et, à ce propos, citons Gérald Tenenbaum et Michel Mendès-France qui écrivent dans Les nombres premiers (Collection Que sais-je, éditions PUF):

Les nombres premiers se comportent comme les "gaz parfaits" chers aux physiciens. Appréhendée d'un point de vue externe, la distribution est - pour ainsi dire - déterministe, mais dès que l'on cherche à décrire la situation en un point donné, on constate des fluctuations statistiques comme dans un jeu de hasard où l'on sait qu'en moyenne les faces équilibreront les piles mais où, à aucun moment, on ne peut prédire le coup suivant.

Une citation de Pólya

2008-06-24T21:19:00.004+02:00

Mathematics consists of proving the most obvious thing in the least obvious way.

Pólya.

Les mathématiques consistent à démontrer les choses les plus évidentes de la façon la moins évidente.

Patatoïdes

2008-06-21T12:23:00.006+02:00

En mathématiques, un (et non pas "une") patatoïde est un solide de l'espace sans caractéristique particulière de symétrie, ni forme précise, contrairement par exemple à une ellipsoïde, ou encore une hyperboloïde. Par ce terme, on souhaite donc évoquer un objet spatial le plus général possible. Cependant, un patatoïde possède malgré tout quelques propriétés intéressantes: ce sont toujours des objets compacts (au sens topologique), connexes (c'est-à-dire d'un seul morceau) et même simplement connexes (c'est-à-dire sans trou).

Le triangle de Sierpinski

2008-05-18T02:01:00.008+02:00

Voici un des exemples les plus connus de fractale (l'image provient de ce site):

Cette fractale, appelée triangle de Sierpinski, est construite suivant une méthode plutôt simple dans l'idée. Premièrement, on se donne un triangle équilatéral "plein". Puis, on lui retire une partie de son intérieur, à savoir le triangle (équilatéral) dont les sommets sont les milieux des côtés du premier triangle. On obtient alors un triangle contenant trois petits triangles équilatéraux. On applique alors la même procédure à ceux-là: on enlève les triangles équilatéraux du milieux. Et ainsi de suite.

Bien entendu, le nombre de triangles à retirer à chaque étape croît de manière exponentielle. Plus précisément, à la n-ème étape, on devra oter environ 3^n ("3 puissance n") triangles. A la vingtième intération, on aura alors enlever plus de 3 milliards de triangles.

Un ancien poisson d'Avril

2008-04-11T18:36:00.006+02:00

Il y a plus de 30 ans, précisément le 1er Avril 1975, Martin Gardner annonce dans une revue scientifique que le nombre:

est entier. Etant donné les faibles performances des calculatrices de l'époque, il fut très difficile pour le lecteur moyen de le conterdire. De fait, les douze premières décimales sont des 9, de sorte que tout arrondi à moins de douze décimales près donnera un nombre entier. Il faut donc calculer au moins 13 décimales pour se rendre compte du canular, le développement décimal de ce nombre commençant par:

262537412640768743,999999999999250072....

Ce poisson d'Avril n'aurait sans doute plus aucun intérêt de nos jours, le calul d'une vingtaine de décimales de ce nombre ne prenant que quelques secondes. On savait s'amuser à l'époque.

Résolution d'un problème posé aux Olympiades

2008-03-30T23:35:00.004+02:00

Voici un problème classique posé lors des Olympiades de mathématiques. Il s'agit de prouver la minoration par une constante d'une somme de fractions rationnelles de trois variables. La solution proposée a le mérite d'être accessible à un élève de lycée.

4 milliards 9 ?

2008-03-19T17:14:00.006+01:00

Lors d'un journal télévisé, un journaliste voulant évoquer 4,9 milliards d'euros a parlé de "quatre milliards neuf". Une erreur aussi grossière se doit d'être corrigée puisque le nombre prononcé par le présentateur est 4 000 000 009, alors que la somme d'argent en jeu était de 4 900 000 000 d'euros, nombre qui se prononce "quatre milliards neuf cents millions". Tout au plus aurait-il pu dire "quatre virgule neuf milliards".

On a beau dire, mais savoir parler en français permet d'éviter de faire des erreurs de 899 999 991 euros, ce qui est loin d'être négligeable.

Chuck Norris, homme de maths

2008-03-09T10:11:00.008+01:00

Depuis quelques temps, les exploits du célèbre acteur américain Chuck Norris circulent sur le net. Et bien évidemment, les mathématiques n'échappent pas à Chuck Norris, car tout revient à Chuck Norris. Par exemple, sur le site Chuck Norris facts, on peut trouver les phrases suivantes:

Chuck Norris a déjà compté jusqu'à l'infini. Deux fois.
Chuck Norris connait la dernière décimale de Pi.
Chuck Norris peut diviser par zéro.

Pour ma part, j'ai noté les faits suivants (et qui sont avérés bien entendu) :

Chuck Norris a prouvé la conjecture de Riemann. Il en a donné sept démonstrations différentes, dont deux utilisant le théorème de Thalès.
Chuck Norris peut résoudre des équations polynomiales de degré supérieur à 5 par radicaux.
Chuck Norris sait paver le plan de 31 façons distinctes.
La quadrature du cercle est impossible parce que Chuck Norris l'a voulu.
Euler est le plus grand mathématicien de tous les temps, après Chuck Norris.
Chuck Norris peut faire tenir la démonstration du théorème de Fermat dans une marge.
Chuck Norris a déjà énuméré tous les nombres réels.
Chuck Norris peut remplir la bouteille de Klein.
Chuck Norris ne démontre pas les théorèmes. Ce sont les théorèmes qui se démontrent pour lui.
L'unité de mesure représentant 10^1000 mètres est le Chuck Norris.

A vous de trouver ses autres exploits mathématiques!

Des donuts dans l'alphabet

2008-03-04T01:41:00.017+01:00

Voici une tasse:

Et voici un donut (célèbre patisserie américaine):

Mais quel peut bien être le rapport entre ces deux choses et les mathématiques ? Il n'est pas évident à trouver a priori. Examinons la boutade suivante:

Un spécialiste de topologie est quelqu'un qui ne fait pas la différence entre une tasse et un donut.

Les topologistes auraient donc des problèmes de vue ? Pas vraiment (du moins pas tous!) et voyons pourquoi. La topologie est une branche des mathématiques qui s'occupe (entre autres!) des formes des objets et de la déformation de ceux-là par des actions qu'on pourrait qualifier de non brutales: couper un objet avec des ciseaux ou bien fusionner deux morceaux avec de la colle ne sont pas autorisés. Imaginez de la pâte à modeler que vous modifieriez uniquement à l'aide de vos doigts, sans jamais détacher un seul morceau: c'est ce genre de transformations dont il s'agit en topologie. Pour être précis, ces transformations sont appelées (dans le jargon mathématique) des applications continues. Le terme "continues" évoque bien cette idée selon laquelle on ne découpe pas les formes, ni ne les recolle.

Revenons à nos donuts, ou plutôt à nos moutons. Comment faire pour passer d'une tasse à un donut via une transformation continue ? On peut par exemple, en supposant que l'on puisse manipuler la tasse telle de la pâte à modeler, contracter le corps de la tasse sur sa partie commune avec son anse. Comme un bon schéma vaut mieux que des lignes d'explications, la transformation effectuée est décrite par la figure suivante:

Il faut savoir qu'en topologie, on identifie deux objets qui sont tels qu'on peut passer de l'un à l'autre par une transformation continue, c'est-à-dire qu'ils sont indiscernables topologiquement parlant. D'où la boutade ci-dessus.

Amusons-nous encore un peu, cette fois-ci avec les lettres de l'alphabet. Quelles lettres de l'alphabet (écrites en capitale) ont topologiquement la même forme qu'un donut ? Voici les lettres:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Les lettres apparentées à un donut (ou à une tasse!) sont A, D, O, Q, P et R. Les lettres C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y et Z s'apparent à un point. Quant à la lettre B, elle s'identifie à deux donuts qui seraient collés ensemble, comme dans la figure ci-après:

Visualiser un système chaotique avec un jeu pour enfant

2008-02-26T00:27:00.003+01:00

Inutile d'aller chercher très loin pour trouver un système chaotique. Un simple jeu pour enfant bien utilisé permet d'en créer un!

Le principe: au-dessus du sommet de quel couleur va s'arrêter le pendule lorsqu'il est lancé d'une position donnée ? Il est impossible de donner une réponse, puisqu'un changement minime dans la position initiale peut changer le sommet d'arrivée.

Ce que dirait Fermat de nos jours

2008-02-22T21:18:00.002+01:00

Pierre de Fermat (1601-1665), auteur de la plus célèbre conjecture mathématique de tous les temps, a écrit (à propos de celle-ci) dans la marge d'un de ses cahiers:

J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.

S'il avait vécu de nos jours, nul doute qu'il aurait dit la chose suivante:

J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais mon disque dur n'a plus assez d'octets pour la contenir.

Un arbre des mathématiques

2008-02-19T11:30:00.021+01:00

Ce schéma (tiré de l'article suivant de Max Tegmark) représente certains liens entre différentes notions des mathématiques utiles en physique (cliquer sur l'image pour agrandir). Puisque son but est de montrer quels sont les notions mathématiques (et leur provenance) présentes dans les deux branches de la physique que sont la théorie quantique des champs et la relativité générale, il est normal de ne pas trouver des pans entiers des mathématiques, comme la théorie des nombres ou la géométrie algébrique... Et bien qu'il soit non exhaustif (et forcément incomplet puisque ne figurent pas des théories usitées en physique quantique comme celle des probabilités) il donne une impression assez probante sur la complexité des connexions entre les différents concepts de cette discipline, souvent considérée (à tort) comme un bloc monolithique.

Ce schéma se lit de la manière suivante: les concepts de base sont situés sur la partie inférieure. On y trouve des notions issues de la branche des mathématique appelée logique, comme les systèmes formels. Puis en remontant on trouve les concepts de nombre naturels (natural numbers), de nombres relatifs (integers) et en parallèle, les espaces topologiques (topological spaces), les anneaux (rings), les corps (fields)...

L'amour et les maths

2008-02-13T17:29:00.007+01:00

Mon approche habituelle est inutile ici.

En clair, essayer d'appliquer des méthodes rationnelles pour résoudre des problèmes qui ne le sont n'est que pure chimère...

Une montagne, du sable et des maths

2008-02-12T21:31:00.002+01:00

Je ne résiste pas à l'envie de soumettre la citation d'Ian Stewart suivante:

C'est comme une expédition qui doit contourner une montagne infranchissable. Au début, vous pouvez voir le sommet à conquérir. Mais il n'y a pas de moyen pour l'escalader. Alors l'expédition s'enfonce dans le désert, essayant de contourner la montagne afin d'éviter le sommet. Mais les techniques nécessaires pour survivre dans le désert ne sont pas les mêmes que celles qui vous aident à escalader les montagnes. Vous finissez donc par fabriquer des spécialistes en cactus, en serpents à sonnettes, en araignées et en écoulement de dunes dans le vent, des spécialistes qui en savent long sur le débordement des oueds, et plus personne ne se préoccupe de la neige, des cordes, des crampons ni des piolets. Alors quand un montagnard demande au « sablologue » pourquoi il étudie les dunes, et qu'il lui est répondu : « Pour contourner cette montagne », il n'en croit pas un mot. Et tout s'aggrave quand la réponse est : « Je me fiche comme d'une guigne des montagnes ; les dunes sont bien plus amusantes. » Mais la montagne est toujours là, et le désert l'entoure toujours. Et si les « désertologues » font correctement leur travail, même s'ils ont oublié la montagne, la montagne un jour cessera d'être un obstacle.

Le "c'est" initial dénomme bien entendu l'action de faire des mathématiques, la montagne représentant un théorème à prouver, une conjecture à infirmer ou une nouvelle théorie à créer.
L'exemple le plus célèbre du fait qu'il ait fallu de nombreux détours pour montrer un théorème est sans conteste celui du théorème de Fermat. La montagne est cet énoncé si court, et pourtant si profond qui a donneé du fil à retordre à des générations de mathématiciens pendant presque quatre siècles:

Il n’est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d’exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant.

Pour prouver la véracité de ce théorème, il a fallu explorer de nouveaux champs des mathématiques, et le désert entourant cette montagne s'est trouvé être la théorie des formes modulaires et des courbes elliptiques...

Démontrer le théorème de Pythagore avec... de l'eau

2008-02-11T21:57:00.001+01:00

Voici une vidéo très amusante concernant le théorème de Pythagore:

En quoi cette petite expérience permet de visualiser une démonstration du théorème de Pythagore ? Voici une petite explication.

Le théorème de Pythagore affirme que si le triangle ABC est rectangle en C (voir figure ci-après), alors:

c² = a² + b²

Cela revient exactement à montrer que la somme des aires des deux plus petits carrés est égale à l'aire du plus grand carré.

Dans la vidéo ci-dessus, on a rempli les deux plus petits carrés avec de l'eau, et on verse ce liquide dans le troisième carré. On constate que l'eau remplit parfaitement le troisième carré.

Bien entendu, cela ne constitue pas une démonstration en tant que telle, mais il semble que cette expérience permet de se construire une caractérisation visuelle de ce que représente ce théorème qui peut paraître si abstrait à certains.

Une blague en anglais...

2008-02-05T19:30:00.000+01:00

Une fois n'est pas coutume, voici une blague en anglais:

What's purple and commutes ?

An abelian grape.

Quelque chose en théorie des groupes

2008-01-29T21:24:00.000+01:00

Qu'est-ce que la théorie des groupes ? Voyons l'explication de James R. Newman (qui avait la particularité d'être à la fois mathématicien et avocat!):

La théorie des groupes est la branche des mathématiques dans laquelle on fait quelque chose à quelque chose et on compare le résultat avec le résultat obtenu en faisant la même chose à quelque chose d'autre, ou quelque chose d'autre à la même chose.

Désormais, vous ne pouvez pas dire que vous ne savez pas ce qu'est la théorie des groupes. Vous pouvez au moins dire que vous en savez... quelque chose.

Des rails et des noeuds

2008-01-24T19:22:00.000+01:00

Vers la fin de la Seconde Guerre Mondiale, un mathématicien Hongrois (Paul Turán) qui travaillait dans une usine de briques, a remarqué que les petits trains qui transportaient les briques se renversaient sans cesse là où les rails se croisaient. Un ingénieur aurait repensé la conception des rails. Devinez ce que le mathématicien a fait.

Ian Stewart

Et qu'a donc fait ce mathématicien ? Il a tenté de minimiser le nombre de croisements. Cela a donné naissance à un problème très compliqué de théorie des graphes qu'aujourd'hui même on est incapable de résoudre dans le cas général.

L'âge du capitaine

2008-01-21T21:23:00.000+01:00

En 1843, Gustave Flaubert, dans une lettre à sa soeur, écrit ces quelques lignes:

Puisque tu fais de la géométrie et de la trigonométrie, je vais te donner un problème : Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d'avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle NNE, l'horloge marque trois heures un quart d'après-midi, on est au mois de mai ... Quel est l'âge du capitaine.

Quel est l'âge du capitaine...Voilà une question qui pose problème à partir du moment où on essaye d'en apporter un réponse à partir des données précédentes. La caractère sarcastique de ce texte et son humour latent ne font que mettre plus en lumière l'absurdité de vouloir répondre à cette interrogation finale. Et pour autant qu'elle puisse ne pas être pertinente dans le contexte dans lequel elle est posée, cette question soulève bien des choses dont en particulier la question du sens, cruciale dans l'apprentissage des mathématiques.

Faire des mathématiques, ce n'est pas seulement savoir calculer, c'est aussi et surtout savoir tirer des conclusions logiques à partir d'hypothèses. Et savoir poser les bonnes questions. Dans le texte ci-dessus, la bonne question serait "Peut-on calculer l'âge du capitaine?"

Votre anniversaire dans Pi

2008-01-16T21:15:00.001+01:00

Le site internet Am I in Pi ? (Suis-je dans Pi?) permet de trouver à partir de quelle décimale de Pi apparaît la suite des chiffres de votre date de naissance. Bien entendu, on peut aussi chercher d'autres suites de nombres. La recherche est effectuée dans les 1254543 premières décimales de Pi.

Une fois l'amusement mis de côté, on peut se demander si n'importe quelle suite de chiffres de longueur finie apparaît tôt ou tard dans les décimales de Pi. Les nombres vérifiant une telle propriété sont appelés nombres univers, et le problème de savoir si Pi est un tel nombre (ou non) est encore un problème ouvert à ce jour. On ne peut donc pas dire avec certitude qu'une date de naissance surviendra à un moment ou à un autre dans les décimales de Pi.

Existe-t-il au moins des nombres univers ? La réponse est oui. En voici un exemple très simple, appelé constante de Champernowne: il s'agit du nombre 0,123456789101112131415... où on a placé les uns à la suite des autres tous les nombres entiers naturels. Et c'est quasiment le seul exemple de nombre univers connu. Il semble que le problème de déterminer si un nombre donné est univers ou non soit d'une difficulté assez grande, mais paradoxalement on sait que la plupart des nombres réels sont des nombres univers. Le moins qu'on puisse dire c'est que cela défie notre intuition encore une fois.

< /2007 > < 2008 >

2008-01-13T18:46:00.000+01:00

Une nouvelle année vient de débuter, en voilà une occasion pour manipuler quelques nombres! Le nombre 2008 possède quelques propriétés remarquables que je vais tenter d'exposer. Tout d'abord, ce nombre admet la décomposition en produit de facteurs premiers suivante: 2008= 2^3 * 251.

2008 ne peut pas être décomposé comme une somme de deux carrés en vertu d'un théorème stipulant que cela n'est possible que pour les nombres dont tous les facteurs premiers congrus à 3 modulo 4 ont un exposant pair.
2008 peut être décomposé en une somme de quatre carrés (c'est possible pour tout nombre) de 6048 manières différentes.
Il y a exactement 1000 nombres inférieurs à 2008 qui sont premiers avec 2008.
2008 s'écrit 31013 en base 5 et 5566 en base 7 (palindromes).
2008 s'écrit comme la somme des deux nombres premiers 5 et 2003 (la conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers). C'est aussi la somme des deux nombres premiers 11 et 1997, des deux nombres premiers 29 et 1979...
La somme des chiffres de 2008 est égale à la somme des chiffres de ses facteurs premiers (2+0+0+8=2+2+5+1): on dit que 2008 est un nombre canular (hoax number en anglais).

Cette liste est bien entendue non exhaustive. A vous de trouver d'autres propriétés de ce nombre représentant cette nouvelle année!

Un calcul qui tourne mal....

2008-01-12T12:33:00.000+01:00

Encyclopédies mathématiques

2008-01-12T01:41:00.000+01:00

Il existe sur Internet plusieurs encyclopédies mathématiques. Chacun jugera par soi-même de la qualité des ressources proposées. En voici trois:

Mathworld: très complet, très précis, de nombreuses références citées... Attention, c'est en anglais.
Wikipedia: Très complet, malgré la maigreur de certains articles parfois.
Encyclopaedia of Mathematics: Assez complet, d'un niveau assez elevé. Interface peu developpée. En anglais.

Pi en musique

2007-12-29T15:26:00.001+01:00

Voici une vidéo énumérant les 150 premières décimales du célèbre nombre pi sur fond musical. J'avoue ne pas avoir compté ni vérifié s'il y en a effectivement 150 et s'il n'y a pas d'erreurs. Ca ne sert strictement à rien, mais c'est très amusant!

Un paradoxe amusant

2007-12-25T01:11:00.000+01:00

Il existe une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude générale du raisonnement mathématique, qu'on appelle la Logique. Elle vise à clarifier et à formaliser les règles de déduction qu'on peut utiliser en mathématiques. Bien qu'il n'est en rien nécéssaire de maîtriser parfaitement cette branche pour pouvoir faire des mathématiques, elle tient une place beaucoup plus importante en informatique.

La Logique s'occupe par exemple d'étudier les paradoxes posés par le genre d'énoncé comme cette phrase ci-dessous:

Je mens.

Attardons-nous un moment sur cette phrase. Supposons qu'elle soit vraie: dans ce cas, la personne qui l'a prononcée ment bel et bien, et ainsi, il ment aussi quand il dit cette phrase, d'où une contradiction. Supposons maintenant qu'elle soit fausse: dans ce cas l'orateur ne ment pas, et donc il dit vrai quand il dit qu'il ment, ce qui est contradictoire. Nous voyons donc que cette phrase n'est ni vraie, ni fausse. Cela défie notre intuition tout de même, dans un monde où le principe du tiers-exclu prévaut (c'est-à-dire que les choses sont soient vraies, soient fausses). Les logiciens appellent ce genre d'énoncé ni vrais ni faux des énoncés indécidables.

Ce genre de choses est bien ennuyeux tout de même dans une science comme les mathématiques qui s'affaire à trier le vrai du faux. Le logicien Kurt Gödel (en photo ci-dessus) a prouvé dans les années 30 un résultat encore plus déroutant, et qui a mis fin à tous les espoirs de pouvoir classifier complètement les énoncés vrais de ceux qui sont faux, avec son célèbre théorème dit d'incomplétude qui stipule que dans les mathématiques usuelles, quelque soient les axiomes qu'on se fixe au préalable il existera toujours une proposition indécidable. En clair, il existera toujours un énoncé dont on ne pourra pas dire s'il est vrai ou faux. On peut alors admettre cet énoncé comme axiome mais cela créera un nouvel énoncé indécidable. C'est le cas de l'hypothèse du continu qui, parce qu'elle est indécidable est parfois admise comme vraie, ce qui n'empêche pas alors l'existence d'autres énoncés ni vrais, ni faux.

Qu'est-ce qu'une méthode ?

2007-12-15T23:23:00.000+01:00

Bonne question. George Polya, mathématicien hongrois (1887-1985) doté d'un sens de l'humour particulièrement affûté en pense ceci:

Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois.

Je défie quiconque de le contredire!

Un drôle de Sudoku

2007-12-14T19:59:00.000+01:00

Voici une planche de Sudoku qui figure dans la bande dessinée Foxtrot de Bill Amend. Saurez-vous en trouver la solution ?

Les aléas des chiffres

2007-12-12T23:03:00.000+01:00

Contrairement à ce que l'on pourrait croire, il est très difficile d'établir une liste de chiffres tirés au hasard. La première idée que l'on pourrait avoir serait de noter sur une feuille les chiffres tels qu'ils nous viennent en tête. Pourtant, cette liste ne sera pas exactement une liste de chiffres tirés au hasard. Pourquoi ? Avant tout, il faut s'entendre sur ce qu'on entend par liste de chiffres tirés au hasard. Intuitivement, on souhaite que tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent avec environ la même fréquence: en d'autres termes, on souhaite que ce tirage soit équiprobable. Cela parle tellement à notre intuition que lorsqu'un humain rédige une telle liste, il va naturellement ne favoriser aucun chiffre.

Mais cela ne suffit pas pour que notre liste de nombres soit véritablement issue du hasard. En effet, en partant d'une équiprobabilité d'apparition de tous les chiffres, on a alors affaire à un résultat qui met plus en défaut notre intuition: celui de la probabilité que des mêmes chiffres se suivent. Dans la psychologie humaine, une liste avec de nombreuses succesions du même chiffre ne pas être aléatoire. Et pourtant le calcul montre que la probabilité d'apparition d'un doublon (deux mêmes chiffres qui se suivent dans la liste) est proche de 90% (je cite de mémoire).

Comme on le voit, le problème de la génération de listes de chiffres au hasard est hautement non trivial. On pourrait alors imaginer de donner ce travail à faire à un ordinateur, qui n'est pas soumis à tout cet aspect psychologique de l'Homme. Il existe de très bons algorithmes (basés sur des suites récurrentes linéaires) permettant de générer des listes de nombres "au hasard", mais il faut garder à l'esprit qu'à partir du moment où il y a un algoithme, il n'y a plus de notion d'aléa. En effet, la suite engendrée est (en théorie du moins) complètement prédictible, puisqu'il suffit de suivre l'algorithme en question pour retrouver la liste. On parle alors de listes de chiffres pseudo-aléatoires. Cela dit, on peut malgré tout obtenir des résultats très satisfaisants à partir de machines.

Pour terminer, je propose ci-joint un exemple de table de chiffres tirés au hasard. Mais à quoi cela peut-il bien servir après tout ? Et bien, à faire des simulations. Par exemple, je veux simuler un lancer à pile ou face. Je considère la premier chiffre de chaque bloc de 5: s'il est pair, je considère que le résultat de l'experience est pile, s'il est impair, je considère que le résultat est face. Le soin de vérifier qu'on obtient statistiquement une chance sur deux d'avoir pile (ou face) est laissé au lecteur curieux de vérifier l'utilité de ces tables.

Le ruban de Möbius

2007-12-06T16:33:00.000+01:00

Le ruban de Möbius est un ruban très singulier car il ne possède qu'une face et qu'une seule frontière exterieure. En voici une petite présentation à partir d'experiences simples mais très suggestives:

Un alignement singulier

2007-11-30T19:17:00.000+01:00

Il est remarquable que dans un triangle quelconque l'orthocentre H (point d'intersection des trois hauteurs du triangle), le centre de gravité G (point d'intersection des trois médianes) et le centre du cercle circonscrit I (point d'intersection des trois médiatrices) soient alignés. Cela est d'autant plus surprenant qu'il n'y a a priori aucun rapport entre les notions de hauteur, de médiane et de médiatrice. Rappelons qu'une hauteur est une droite passant par un sommet d'un triangle et orthogonale au côté opposé à ce sommet; une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du segment opposé à ce sommet; et enfin une médiatrice est une droite coupant perpendiculairement un côté du triangle en son milieu. Ce sont bien des concepts très différents par définition même.

La droite passant par les trois points H, G et I (en bleu sur le schéma ci-dessus) s'appelle droite d'Euler (en l'honneur du grand mathématicien suisse qui l'a découverte).

Ce qui est surtout étonnant est le fait que ces trois points existent, dans le sens où les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un seul point, de même pour les trois médianes et les trois médiatrices. Ce fait me laisse vraiment perplexe. C'est cela la beauté des mathématiques.

A la recherche d'une suite perdue

2007-11-25T18:08:00.000+01:00

Trouver une suite (connue) à partir de nombres entiers donnés faisant partie de cette suite, c'est ce que propose l'encyclopédie en ligne des suites d'entiers. Par exemple, si on entre la suite 1,3,5,7,9, on nous propose la suite des entiers impairs, mais pas seulement puisqu'on nous propose aussi la suite des nombres entiers dont l'écriture en bas 2 forme un palindrome (c'est-à-dire qui se lisent de la même manière de droite à gauche ou de gauche à droite).

Bien sûr, la première chose que la curiosité nous pousse à faire est de proposer une séquence de nombres sans lien logique a priori, cela dit, les suites proposées peuvent être assez compliquées pour le profane. Pour la petite anecdote, si on essaye d'entrer les nombres 4,8,15,16,23,42, l'encyclopédie renvoie comme première réponse la suite des nombres de la série télévisée Lost (attention, le commentaire est susceptible de dévoiler certains secrets de la série).

Poésie

2007-11-24T21:10:00.000+01:00

Les mathématiques sont la poésie des sciences.

Léopold Sédar Senghor, écrivain et poète sénégalais, père fondateur et soutien inconditionnel de la Francophonie.

Etymologie du terme "algèbre"

2007-11-22T21:45:00.000+01:00

Comme dans toute science, les mathématiques disposent de tout un vocabulaire spécifique, qui a été façonné par les différentes civilisations qui ont contribué à leur construction au cours des siècles. Le terme "algèbre", désignant toute la branche des mathématiques qui consiste en l'étude systématique de lois (comme l'addition) et de la relation que les nombres ont entre eux via celles-là, vient du terme arabe "al-jabr" signifiant littéralement "réstauration". Ce terme fut pour la première fois employé à propos des mathématiques par le novateur Al-Khwarizmi, mathématicien arabe du 9ème siècle, dans un traité fondateur nommé Al-Kitâb al-mukhtasar fî hisâb al-jabr wa l-muqâbala (Livre abrégé sur le calcul par la restauration et la comparaison). Dans ce livre qui influencera fortement les générations futures de mathématiciens, il procède à l'étude systèmatique des équations du second degré en se ramenant à six cas de base, en utilisant ce qu'il nomme "restauration" (al-jabr). Un élève d'aujourd'hui qualifierait cela (de manière abusive mais ce n'est pas le sujet) comme l'action de "passer quelque chose de l'autre côté de l'égalité" lorsqu'ils résolvent une équation.

Timbre soviétique à l'effigie d'Al-Khwarizmi, dont l'origine se situerait dans l'Ouzbékistan actuelle.

C'est donc une idée très simple, mais qui est fondamentale qui est à l'origine de l'algèbre, cette idée de modifier une égalité pour la rendre plus simple à résoudre. Pourtant, à l'époque d'Al-Khwarizmi, le seul fait de penser un problème en termes d'égalité avec une grandeur inconnue est une avancée considérable, et c'est un de ses grands apports que d'avoir su extraire ce concept et de rationaliser cette idée.

La méthode miracle

2007-11-11T02:09:00.000+01:00

Je crois que vous devriez être plus explicite dans la deuxième étape, ici.

(Sur le tableau, il est écrit: "Puis un miracle se produit.")

Pôles Est et Ouest ?

2007-11-10T23:25:00.000+01:00

Tout le monde connaît les pôles Nord et Sud de la planète Terre. En se questionnant légèrement on peut se demander pourquoi n'a-t-on rien pour l'Est et l'Ouest ? La réponse est très simple (et tout le monde comprend pourquoi): la Terre tourne autour d'un axe (voir ci-dessous) et on appelle pôle Nord et pôle Sud les deux points de la Terre qui ne changent pas de position lors de cette rotation. Avec cette définition, pour qu'il y ait un autre pôle il faudrait qu'il y ait un autre point fixe sur la surface de la Terre, ce qui n'est pas, comme on l'imagine bien.

Lorsqu'il s'agit de montrer cela rigoureusement, les affaires se compliquent. Si on assimile la surface de la Terre à une sphère, les transformations qui ne changent pas globalement cette sphère et qui conservent les distances et les angles s'appellent les transformations de Möbius (voir à ce propos une note précédente). Il faut savoir qu'une transformation de Möbius est entièrement caractérisée par la donnée de trois points. Imaginons maintenant qu'il y ait un troisième point fixe lors de la rotation de la Terre sur elle-même. Dans ce cas, cette rotation laisserait fixés les pôles Nord et Sud ainsi que ce troisième point. Mais la transformation neutre, c'est-à-dire qui envoie chaque point sur lui-même, laisserait aussi fixés ces trois points. On en déduirait que la Terre ne subirait qu'une rotation neutre, et resterait ainsi immobile par rapport à l'axe Nord-Sud, ce qui est bien entendu absurde.

Radio-Pythagore

2007-11-05T21:33:00.000+01:00

Il existe une multitude de démonstrations élémentaires du théorème de Pythagore. Par exemple, ce site en recense 69 différentes. Mais si on y regarde de plus près, on remarque que la quasi-totalité des preuves utilisent la notion intuitive d'aire, et le fait que celle-ci soit invariante (inchangée) lorsqu'on effectue une opération "simple" sur la figure (par exemple, une rotation, ou une symétrie). Bien que ces démonstrations soient loin d'être triviales, elles utilisent implicitement des concepts très élaborés, qui n'ont été parfaitement dégagés qu'au début du XXème siècle. En effet, le concept d'aire, aussi intuitif qu'il soit, est très difficile à définir proprement. De même, son invariance par transformation "simple" est loin d'être une chose facile à montrer lorsqu'on décide de s'attaquer rigoureusement à cette notion.

Pourtant, il existe une démonstration beaucoup plus simple (et qui ne prend qu'une ligne tout au plus), mais le prix à payer est de définir de manière précise les différents objets mis en jeu, comme un triangle rectangle, le plan dans lequel il repose, la notion d'orthogonalité...Et c'est là que se trouve la vraie difficulté, car les questions les plus basiques se posent d'elles-mêmes. Qu'est-ce qu'un plan ? Qu'est-ce qu'une droite ? Et la question qui fait frémir beaucoup de monde: qu'est-ce qu'un point ? Fort heureusement, on n'a pas besoin de pouvoir répondre à ces questions (qui ont, précisons-le, une réponse mathématique très claire) pour pouvoir utiliser ce fameux théorème de Pythagore. Qui a besoin de savoir comment fonctionne une radio pour l'écouter ? Cela ne nous dispense pas pour autant d'occulter ces questions, bien au contraire.

Le mystère Ramanujan

2007-11-02T00:28:00.000+01:00

La représentation qu'on a des objets mathématiques varie très fortement d'une personne à une autre. Il est de ces gens qui saisissent au plus près certains concepts rien qu'en les apercevant. Le plus illustre d'entre eux dans l'histoire des mathématiques est sans doute Ramanujan (en photo ci-contre), célèbre mathématicien indien à qui l'on doit un nombre incalculable de formules, apparement sorties de nulle part, mais qui se révèlent pour une grande partie d'entre elles être vraies. Par exemple, les formules suivantes :

Ce qui peut paraître pour la plupart des hommes quelque chose de non trivial lui paraissait sans doute évident. Je suppose qu'il voyait ces formules de la même manière qu'on voit pourquoi 2 est le nombre qu'il faut ajouter à 3 pour obtenir 5. A ce propos, une anecdote amusante (relatée par le célèbre mathématicien Hardy) montre à quel point il comprenait et saisissait immédiatement les nombres:

Je me souviens d'une fois où j'arrivai à son chevet à Putney. J'avais été conduit par le taxi numéro 1 729 ; la morosité qui semblait émaner de ce nombre avait attiré mon attention. J'espérais qu'il ne constituait pas un mauvais présage. "Non , me répondit-il, c'est un nombre fort intéressant ; c'est le plus petit que l'on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes."

Malheureusement, toutes ces formules ont été proposées sans preuves, ce qui fait qu'aujourd'hui encore des mathématiciens essayent de les démontrer.

Transformations de Möbius

2007-11-01T00:48:00.000+01:00

Un éléphant, ça trompe énormément

2007-10-31T01:00:00.000+01:00

Gerald Sussman (spécialiste en mathématiques et en informatique que j'avoue ne pas connaître), est l'auteur de la citation suivante:

En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d'appeler un opérateur auto-adjoint un éléphant" et une décomposition spectrale une "trompe". On peut alors démontrer un théorème suivant lequel "tout éléphant à une trompe". Mais on n'a pas le droit de laisser croire que ce résultat a quelque chose à voir avec de gros animaux gris.

Au-délà du bon mot qui est fait, cette citation amène à réflechir sur la place de la notion de définition en mathématiques. Une partie de cette science consiste à savoir poser les bonnes définitions -l'autre à savoir prouver des énoncés non triviaux-, toute la difficulté étant de comprendre quels sont les objets pertinents à mettre en lumière pour leur étude systématique. Bien souvent, c'est avec l'experience qu'ils apparaîssent d'eux-mêmes, comme par exemple avec le concept de fraction qui se détache de lui-même lorsqu'on est devant un problème de partage. Parfois il faut un effort très important pour pouvoir détacher une notion: c'est le cas des espaces vectoriels, qui apparaissent dans un grand nombre de situations diverses et variées, et qu'il a fallu extraire parmi une multitude d'autres choses.

Pour en revenir à la citation de Sussman, il est sous-entendu dans celle-ci qu'une fois que la définition est posée, il ne faut pas oublier ce que représentent les objets qu'elle dénomme. Il est donc logique d'essayer de donner des noms qui évoquent le plus les propriétés de l'objet en question. Cette question, qui n'a alors plus rien à voir avec les mathématiques à proprement parler, a pourtant créé un débat lorsque le collectif Bourbaki a tenté de donner des noms très évocateurs à des objets usuels en mathématiques lors de l'élaboration de son traité "Elements de mathématique" (notez l'orthographe du mot "mathématique" au singulier). Depuis, on peut voir des mots comme "boule", "pavé" etc...

Les commandements du mauvais matheux

2007-10-31T00:15:00.000+01:00

Savoir se discréditer tout seul en mathématiques est un art. Pour certains, cela est inné. Pour les autres, il va falloir développer certaines capacités, tels la rigueur dans le non sens, la négligence dans les calculs, le sens de la contradiction avec soi-même... De manière plus pragmatique, voici quelques conseils à suivre:

1/ Par zéro tu diviseras.

2/ Quand tu multiplies par un nombre négatif, le sens des inégalités tu ne changeras pas.

3/ Sans précaution, les limites tu intervertiras.

4/ Des probabilités plus grande que 1 tu trouveras.

5/ Les quantificateurs universel et existentiel tu confondras.

6/ (a+b)²=a²+b² tu décreteras.

7/ Toutes les matrices tu inverseras.

8/ Linéaire la fonction sinus sera.

9/ A des triangles non rectangles le théorème de Pythagore tu appliqueras.

10/ Dérivable toute fonction continue sera.

Cette liste est bien entendu non exhaustive, mais a le mérite de présenter des conseils pour mathématiciens de différents niveaux. Nul doute qu'elle constituera une précieuse aide pour tous ceux qui souhaitent progresser dans le chemin du "1=0"...

De l'intuition géométrique

2007-10-29T21:54:00.000+01:00

En mathématiques, l'inégalité triangulaire est la propriété qui stipule que la distance parcourue pour aller de Paris à Marseille est plus courte si on s'y rend directement que si on passe par Lyon. C'est un énoncé très simplement compréhensible car il fait immédiatement appel à notre intuition géométrique.

Concrètement, si on regarde le schéma ci-dessous, cette inégalité dit que la longueur BC est plus petite que AB+AC:

Cependant, il faut prendre garde de se fier tout le temps à cette intuition géométrique. Il existe des cas où ce qui semble évident est faux, où ce qui semble logique est erroné. Par exemple, on peut montrer qu'il y a autant de points à l'intérieur d'un carré que sur n'importe lequel de ses côtés. Cela amène à reflechir sur la nature de cette intuition géométrique: se construit-elle à partir de notre perception (subjective) du monde extérieur ou bien est-elle inhérente à notre capacité de raisonner ? La réponse à cette question est, il semble, loin d'être triviale.

Un peu d'humour...

2007-10-29T16:36:00.000+01:00