Voici un problème classique posé lors des Olympiades de mathématiques. Il s'agit de prouver la minoration par une constante d'une somme de fractions rationnelles de trois variables. La solution proposée a le mérite d'être accessible à un élève de lycée.
dimanche 30 mars 2008
mercredi 19 mars 2008
4 milliards 9 ?
Lors d'un journal télévisé, un journaliste voulant évoquer 4,9 milliards d'euros a parlé de "quatre milliards neuf". Une erreur aussi grossière se doit d'être corrigée puisque le nombre prononcé par le présentateur est 4 000 000 009, alors que la somme d'argent en jeu était de 4 900 000 000 d'euros, nombre qui se prononce "quatre milliards neuf cents millions". Tout au plus aurait-il pu dire "quatre virgule neuf milliards".
On a beau dire, mais savoir parler en français permet d'éviter de faire des erreurs de 899 999 991 euros, ce qui est loin d'être négligeable.
On a beau dire, mais savoir parler en français permet d'éviter de faire des erreurs de 899 999 991 euros, ce qui est loin d'être négligeable.
dimanche 9 mars 2008
Chuck Norris, homme de maths
Depuis quelques temps, les exploits du célèbre acteur américain Chuck Norris circulent sur le net. Et bien évidemment, les mathématiques n'échappent pas à Chuck Norris, car tout revient à Chuck Norris. Par exemple, sur le site Chuck Norris facts, on peut trouver les phrases suivantes:
- Chuck Norris a déjà compté jusqu'à l'infini. Deux fois.
- Chuck Norris connait la dernière décimale de Pi.
- Chuck Norris peut diviser par zéro.
Pour ma part, j'ai noté les faits suivants (et qui sont avérés bien entendu) :
- Chuck Norris a prouvé la conjecture de Riemann. Il en a donné sept démonstrations différentes, dont deux utilisant le théorème de Thalès.
- Chuck Norris peut résoudre des équations polynomiales de degré supérieur à 5 par radicaux.
- Chuck Norris sait paver le plan de 31 façons distinctes.
- La quadrature du cercle est impossible parce que Chuck Norris l'a voulu.
- Euler est le plus grand mathématicien de tous les temps, après Chuck Norris.
- Chuck Norris peut faire tenir la démonstration du théorème de Fermat dans une marge.
- Chuck Norris a déjà énuméré tous les nombres réels.
- Chuck Norris peut remplir la bouteille de Klein.
- Chuck Norris ne démontre pas les théorèmes. Ce sont les théorèmes qui se démontrent pour lui.
- L'unité de mesure représentant 10^1000 mètres est le Chuck Norris.
A vous de trouver ses autres exploits mathématiques!
mardi 4 mars 2008
Des donuts dans l'alphabet
Voici une tasse:
Et voici un donut (célèbre patisserie américaine):
Mais quel peut bien être le rapport entre ces deux choses et les mathématiques ? Il n'est pas évident à trouver a priori. Examinons la boutade suivante:
Les topologistes auraient donc des problèmes de vue ? Pas vraiment (du moins pas tous!) et voyons pourquoi. La topologie est une branche des mathématiques qui s'occupe (entre autres!) des formes des objets et de la déformation de ceux-là par des actions qu'on pourrait qualifier de non brutales: couper un objet avec des ciseaux ou bien fusionner deux morceaux avec de la colle ne sont pas autorisés. Imaginez de la pâte à modeler que vous modifieriez uniquement à l'aide de vos doigts, sans jamais détacher un seul morceau: c'est ce genre de transformations dont il s'agit en topologie. Pour être précis, ces transformations sont appelées (dans le jargon mathématique) des applications continues. Le terme "continues" évoque bien cette idée selon laquelle on ne découpe pas les formes, ni ne les recolle.
Revenons à nos donuts, ou plutôt à nos moutons. Comment faire pour passer d'une tasse à un donut via une transformation continue ? On peut par exemple, en supposant que l'on puisse manipuler la tasse telle de la pâte à modeler, contracter le corps de la tasse sur sa partie commune avec son anse. Comme un bon schéma vaut mieux que des lignes d'explications, la transformation effectuée est décrite par la figure suivante:
Les lettres apparentées à un donut (ou à une tasse!) sont A, D, O, Q, P et R. Les lettres C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y et Z s'apparent à un point. Quant à la lettre B, elle s'identifie à deux donuts qui seraient collés ensemble, comme dans la figure ci-après:
Et voici un donut (célèbre patisserie américaine):
Mais quel peut bien être le rapport entre ces deux choses et les mathématiques ? Il n'est pas évident à trouver a priori. Examinons la boutade suivante:
Un spécialiste de topologie est quelqu'un qui ne fait pas la différence entre une tasse et un donut.
Les topologistes auraient donc des problèmes de vue ? Pas vraiment (du moins pas tous!) et voyons pourquoi. La topologie est une branche des mathématiques qui s'occupe (entre autres!) des formes des objets et de la déformation de ceux-là par des actions qu'on pourrait qualifier de non brutales: couper un objet avec des ciseaux ou bien fusionner deux morceaux avec de la colle ne sont pas autorisés. Imaginez de la pâte à modeler que vous modifieriez uniquement à l'aide de vos doigts, sans jamais détacher un seul morceau: c'est ce genre de transformations dont il s'agit en topologie. Pour être précis, ces transformations sont appelées (dans le jargon mathématique) des applications continues. Le terme "continues" évoque bien cette idée selon laquelle on ne découpe pas les formes, ni ne les recolle.
Revenons à nos donuts, ou plutôt à nos moutons. Comment faire pour passer d'une tasse à un donut via une transformation continue ? On peut par exemple, en supposant que l'on puisse manipuler la tasse telle de la pâte à modeler, contracter le corps de la tasse sur sa partie commune avec son anse. Comme un bon schéma vaut mieux que des lignes d'explications, la transformation effectuée est décrite par la figure suivante:
Il faut savoir qu'en topologie, on identifie deux objets qui sont tels qu'on peut passer de l'un à l'autre par une transformation continue, c'est-à-dire qu'ils sont indiscernables topologiquement parlant. D'où la boutade ci-dessus.
Amusons-nous encore un peu, cette fois-ci avec les lettres de l'alphabet. Quelles lettres de l'alphabet (écrites en capitale) ont topologiquement la même forme qu'un donut ? Voici les lettres:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Les lettres apparentées à un donut (ou à une tasse!) sont A, D, O, Q, P et R. Les lettres C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y et Z s'apparent à un point. Quant à la lettre B, elle s'identifie à deux donuts qui seraient collés ensemble, comme dans la figure ci-après:
