Pôles Est et Ouest ?

Tout le monde connaît les pôles Nord et Sud de la planète Terre. En se questionnant légèrement on peut se demander pourquoi n'a-t-on rien pour l'Est et l'Ouest ? La réponse est très simple (et tout le monde comprend pourquoi): la Terre tourne autour d'un axe (voir ci-dessous) et on appelle pôle Nord et pôle Sud les deux points de la Terre qui ne changent pas de position lors de cette rotation. Avec cette définition, pour qu'il y ait un autre pôle il faudrait qu'il y ait un autre point fixe sur la surface de la Terre, ce qui n'est pas, comme on l'imagine bien.

Lorsqu'il s'agit de montrer cela rigoureusement, les affaires se compliquent. Si on assimile la surface de la Terre à une sphère, les transformations qui ne changent pas globalement cette sphère et qui conservent les distances et les angles s'appellent les transformations de Möbius (voir à ce propos une note précédente). Il faut savoir qu'une transformation de Möbius est entièrement caractérisée par la donnée de trois points. Imaginons maintenant qu'il y ait un troisième point fixe lors de la rotation de la Terre sur elle-même. Dans ce cas, cette rotation laisserait fixés les pôles Nord et Sud ainsi que ce troisième point. Mais la transformation neutre, c'est-à-dire qui envoie chaque point sur lui-même, laisserait aussi fixés ces trois points. On en déduirait que la Terre ne subirait qu'une rotation neutre, et resterait ainsi immobile par rapport à l'axe Nord-Sud, ce qui est bien entendu absurde.