Quelques formules dues à Euler

Une citation de Hardy

317 is a prime, not because we think so, or because our minds are shaped in one way rather than another, but because it is so, because mathematical reality is built that way.

317 est un nombre premier, non pas parce que nous le pensons ou parce que notre esprit est façonné d'une certaine manière plutôt qu'une autre, mais parce que c'est ainsi, parce que la réalité mathématique est construite de cette façon.

Pourquoi la conjecture de Goldbach ne sera jamais démontrée par un amateur

Parmi les nombreux sujets qui fleurissent chaque jour sur les différents fora consacrés aux mathématiques, il en est certains qui sont récurrents. J'ai vu de nombreuses personnes clamer haut et fort qu'elles avaient démontré la conjecture de Goldbach, et ceci avec des outils élémentaires. Nonobstant, un examen minutieux par les différents participants à ces fora fait apparaître dans tous les cas une faille dans les preuves proposées.

La conjecture de Goldbach est, dans son énoncé, d'une simplicité diabolique, ce qui la rend compréhensible par la plupart des profanes, et une bonne partie de ceux-là décide de s'attaquer à sa résolution. Cette entreprise serait parfaitement louable si les motivations de ces personnes n'étaient pas de prouver cette conjecture mais plutôt de l'étudier afin de comprendre pourquoi elle est aussi difficile.

La plupart du temps, les preuves apportées par ces néophytes (que je ne dénigre pas du tout, bien au contraire) utilisent des outils élémentaires à savoir des outils enseignés au niveau du lycée voire au niveau BAC+1. Cela suppose donc implicitement qu'il existe une démonstration de cette conjecture d'une extrême simplicité. C'est de ce postulat de base qu'ils partent lorsqu'ils se lancent dans la recherche d'une démonstration.

Cette conjecture est vieille de plus de 350 ans et a été soumise à de nombreux mathématiciens d'exception comme Leonhard Euler (sans aucun doute le plus grand mathématicien de son époque), Gauss ou encore d'immenses mathématiciens du XXème siècle (Hardy et Littlewood, Erdös, j'en passe et des meilleurs...). Si une démonstration simple existait de cette conjecture, nul doute que ces éminents talents l'auraient trouvée depuis un certain temps déjà. Un autre argument consiste à constater qu'une forme dite faible de la conjecture de Goldbach a été prouvée pour les nombres assez grands par le mathématicien Vinogradov en 1937. La preuve qu'il a proposée repose sur des concepts assez élaborés et sur une méthode (dite méthode du cercle) inventée par Hardy et Littlewood vers le début du XXème siècle. A fortiori, la conjecture forte de Goldbach (celle qu'on connaît tous) sera difficilement prouvable de manière élémentaire.
Pourtant, le mythe selon lequel un amateur puisse un jour être soumis à une révélation et découvrir l'idée géniale que personne n'aurait trouvée depuis plus de trois siècles et demi subsiste toujours. En pratique, il n'existe pas d'exemple à ma connaissance d'amateur ayant résolu un problème très difficile de manière miraculeuse. Si je devais proposer une explication à cette légende bien ancrée dans la société, je pencherais sur la fascination qu'exerce les mathématiques sur les gens, et sur l'aura quasi-mystique qui les entoure. Peut-être vais-je briser des milliers de rêves (ou de cauchemars) en disant cela, mais les mathématiques sont tout simplement le fruit d'un long processus stratiforme.

Un nouveau nombre premier de Mersenne découvert ?

Le 23 Août 2008, le site internet www.mersenne.org annonçait la découverte d'un nouveau nombre premier de Mersenne. Avant d'expliquer ce que sont ces nombres, précisons que cette découverte a été faite via un projet collaboratif où les calculs sont partagés sur les ordinateurs de milliers d'anonymes à travers le monde. Il suffit de télécharger un programme sur le site pour avoir la satisfaction de participer à la recherche de nouveaux nombres premiers de Mersenne.

Mais qu'est-ce qu'un nombre premier de Mersenne alors ? C'est tout simplement un nombre premier qui peut s'écrire sous la forme avec un certain entier. Par exemple, pour , on a qui est premier. On montre aisément qu'une condition nécessaire pour qu'un tel nombre soit premier est que soit lui-même un nombre premier. Hélas, cette condition n'est pas suffisante, puisque par exemple qui est divisible par . Je dis bien "hélas" car cela aurait permis de trouver un moyen très commode de fabriquer très simplement des nombres premiers très grands. Avant le 23 Août dernier, le plus grand nombre premier de Mersenne connu était le nombre qui se compose de 9808358 chiffres.

Les vérifications concernant le dernier nombre premier de Mersenne qu'on aurait découvert ne sont pas encore terminées, et interviendront vers la mi-Septembre.

A rendre fou son banquier...

Pour information, le montant du chèque est approximativement de 0,002 dollars.

De l'esprit humain en mathématiques

Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine

Kurt Gödel

Soit les mathématiques sont trop grandes pour l'esprit humain, soit l'esprit humain est plus qu'une machine.

La comète de Goldbach

Une très célèbre (et encore non résolue) conjecture en théorie des nombres stipule que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cette conjecture, appelée conjecture de Goldbach, a été énoncée au 18ème siècle et n'a, à ce jour, toujours pas été infirmée ou confirmée. Grâce à l'outil informatique, on suppose que cette conjecture est vraie.

Si n est un entier impair, notons G(n) le nombre de façon d'écrire l'entier n comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, si n=4, alors il n'y qu'une seule telle façon d'écrire n: 2+2 (par convention, le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier). A présent, si n=10, alors il y a exactement deux façons d'écrire n comme la somme de deux nombres premiers: 3+7 et 5+5.

Par conséquent, G(4)=1 et G(10)=2. On remarque que formulée autrement, la conjecture de Goldbach affirme que pour tout entier pair n, le nombre G(n) est non nul.

Si on décide de représenter la fonction G sur un graphe, on obtient un tracé plutôt surprenant:



Ce graphe s'appelle la comète de Goldbach. Ce qui est fascinant est le fait que si on regarde localement, on constate un certain aléa des valeurs prises par G(n) alors qu'une vision plus globale fait apparaître une certaine régularité qui donne cette forme cométaire au graphe.

Ce principe d'être localement aléatoire et globalement régulier est un principe qu'on retrouve souvent en théorie des nombres. Un exemple classique repose sur la répartition des nombres premiers et, à ce propos, citons Gérald Tenenbaum et Michel Mendès-France qui écrivent dans Les nombres premiers (Collection Que sais-je, éditions PUF):

Les nombres premiers se comportent comme les "gaz parfaits" chers aux physiciens. Appréhendée d'un point de vue externe, la distribution est - pour ainsi dire - déterministe, mais dès que l'on cherche à décrire la situation en un point donné, on constate des fluctuations statistiques comme dans un jeu de hasard où l'on sait qu'en moyenne les faces équilibreront les piles mais où, à aucun moment, on ne peut prédire le coup suivant.