vendredi 5 juin 2009

Comment tracer un décagone ?

Voici une manière de construire un décagone à la règle et au compas. Rappelons qu'un décagone est un polygone régulier à 10 côtés.

  1. Tracer un cercle (c1) de centre O; tracer un diamètre [IA] de ce cercle, puis le cercle (c2) de centre I et de rayon IA.
  2. Construire un rayon [IB] perpendiculaire à [IA]. Tracer la droite (BO). Elle coupe le petit cercle (c1) en J et K avec BJ <>
  3. Construire le cercle (c3) de centre B passant par J. Ce cercle rencontre le grand cercle (c2) en B1 et en B9. Reporter la distance BB1 sur ce grand cercle: on note ce point B2. Construire de même B3, B4 etc.



Contrairement à ce qu'on pourrait croire, tous les polygones réguliers ne sont pas constructibles à la règle et au compas. Par exemple, il est impossible de construire à la règle et au compas un heptagone (polygone régulier à 7 côtés).

La constructibilité ou non d'un polygone régulier à n côtés n'est possible que si le nombre n peut s'écrire comme le produit d'une puissance (éventuellement nulle) de 2 avec un ou plusieurs nombres de Fermat.

Qu'appelle-t-on un nombre de Fermat ? C'est tout simplement un nombre qui peut s'écrire sous la forme 2^(2^q)+1 (avec q un certain nombre entier naturel). Par exemple, 5 est un nombre de Fermat car 5 = 2^(2^1) + 1.

Revenons à notre décagone. Pourquoi est-il constructible alors ? Il faut remarquer que 10 = 2 x 5. C'est bien le produit d'une puissance de 2 avec un nombre de Fermat (5).