mardi 26 février 2008

Visualiser un système chaotique avec un jeu pour enfant

Inutile d'aller chercher très loin pour trouver un système chaotique. Un simple jeu pour enfant bien utilisé permet d'en créer un!




Le principe: au-dessus du sommet de quel couleur va s'arrêter le pendule lorsqu'il est lancé d'une position donnée ? Il est impossible de donner une réponse, puisqu'un changement minime dans la position initiale peut changer le sommet d'arrivée.

vendredi 22 février 2008

Ce que dirait Fermat de nos jours

Pierre de Fermat (1601-1665), auteur de la plus célèbre conjecture mathématique de tous les temps, a écrit (à propos de celle-ci) dans la marge d'un de ses cahiers:

J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais la marge est trop étroite pour la contenir.


S'il avait vécu de nos jours, nul doute qu'il aurait dit la chose suivante:

J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais mon disque dur n'a plus assez d'octets pour la contenir.

mardi 19 février 2008

Un arbre des mathématiques



Ce schéma (tiré de l'article suivant de Max Tegmark) représente certains liens entre différentes notions des mathématiques utiles en physique (cliquer sur l'image pour agrandir). Puisque son but est de montrer quels sont les notions mathématiques (et leur provenance) présentes dans les deux branches de la physique que sont la théorie quantique des champs et la relativité générale, il est normal de ne pas trouver des pans entiers des mathématiques, comme la théorie des nombres ou la géométrie algébrique... Et bien qu'il soit non exhaustif (et forcément incomplet puisque ne figurent pas des théories usitées en physique quantique comme celle des probabilités) il donne une impression assez probante sur la complexité des connexions entre les différents concepts de cette discipline, souvent considérée (à tort) comme un bloc monolithique.

Ce schéma se lit de la manière suivante: les concepts de base sont situés sur la partie inférieure. On y trouve des notions issues de la branche des mathématique appelée logique, comme les systèmes formels. Puis en remontant on trouve les concepts de nombre naturels (natural numbers), de nombres relatifs (integers) et en parallèle, les espaces topologiques (topological spaces), les anneaux (rings), les corps (fields)...

mercredi 13 février 2008

L'amour et les maths



Mon approche habituelle est inutile ici.


En clair, essayer d'appliquer des méthodes rationnelles pour résoudre des problèmes qui ne le sont n'est que pure chimère...

mardi 12 février 2008

Une montagne, du sable et des maths

Je ne résiste pas à l'envie de soumettre la citation d'Ian Stewart suivante:

C'est comme une expédition qui doit contourner une montagne infranchissable. Au début, vous pouvez voir le sommet à conquérir. Mais il n'y a pas de moyen pour l'escalader. Alors l'expédition s'enfonce dans le désert, essayant de contourner la montagne afin d'éviter le sommet. Mais les techniques nécessaires pour survivre dans le désert ne sont pas les mêmes que celles qui vous aident à escalader les montagnes. Vous finissez donc par fabriquer des spécialistes en cactus, en serpents à sonnettes, en araignées et en écoulement de dunes dans le vent, des spécialistes qui en savent long sur le débordement des oueds, et plus personne ne se préoccupe de la neige, des cordes, des crampons ni des piolets. Alors quand un montagnard demande au « sablologue » pourquoi il étudie les dunes, et qu'il lui est répondu : « Pour contourner cette montagne », il n'en croit pas un mot. Et tout s'aggrave quand la réponse est : « Je me fiche comme d'une guigne des montagnes ; les dunes sont bien plus amusantes. » Mais la montagne est toujours là, et le désert l'entoure toujours. Et si les « désertologues » font correctement leur travail, même s'ils ont oublié la montagne, la montagne un jour cessera d'être un obstacle.


Le "c'est" initial dénomme bien entendu l'action de faire des mathématiques, la montagne représentant un théorème à prouver, une conjecture à infirmer ou une nouvelle théorie à créer.
L'exemple le plus célèbre du fait qu'il ait fallu de nombreux détours pour montrer un théorème est sans conteste celui du théorème de Fermat. La montagne est cet énoncé si court, et pourtant si profond qui a donneé du fil à retordre à des générations de mathématiciens pendant presque quatre siècles:
Il n’est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d’exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant.


Pour prouver la véracité de ce théorème, il a fallu explorer de nouveaux champs des mathématiques, et le désert entourant cette montagne s'est trouvé être la théorie des formes modulaires et des courbes elliptiques...

lundi 11 février 2008

Démontrer le théorème de Pythagore avec... de l'eau

Voici une vidéo très amusante concernant le théorème de Pythagore:




En quoi cette petite expérience permet de visualiser une démonstration du théorème de Pythagore ? Voici une petite explication.

Le théorème de Pythagore affirme que si le triangle ABC est rectangle en C (voir figure ci-après), alors:

c² = a² + b²




Cela revient exactement à montrer que la somme des aires des deux plus petits carrés est égale à l'aire du plus grand carré.

Dans la vidéo ci-dessus, on a rempli les deux plus petits carrés avec de l'eau, et on verse ce liquide dans le troisième carré. On constate que l'eau remplit parfaitement le troisième carré.

Bien entendu, cela ne constitue pas une démonstration en tant que telle, mais il semble que cette expérience permet de se construire une caractérisation visuelle de ce que représente ce théorème qui peut paraître si abstrait à certains.

mardi 5 février 2008

Une blague en anglais...


Une fois n'est pas coutume, voici une blague en anglais:



What's purple and commutes ?

An abelian grape
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