vendredi 30 novembre 2007

Un alignement singulier

Il est remarquable que dans un triangle quelconque l'orthocentre H (point d'intersection des trois hauteurs du triangle), le centre de gravité G (point d'intersection des trois médianes) et le centre du cercle circonscrit I (point d'intersection des trois médiatrices) soient alignés. Cela est d'autant plus surprenant qu'il n'y a a priori aucun rapport entre les notions de hauteur, de médiane et de médiatrice. Rappelons qu'une hauteur est une droite passant par un sommet d'un triangle et orthogonale au côté opposé à ce sommet; une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du segment opposé à ce sommet; et enfin une médiatrice est une droite coupant perpendiculairement un côté du triangle en son milieu. Ce sont bien des concepts très différents par définition même.




La droite passant par les trois points H, G et I (en bleu sur le schéma ci-dessus) s'appelle droite d'Euler (en l'honneur du grand mathématicien suisse qui l'a découverte).

Ce qui est surtout étonnant est le fait que ces trois points existent, dans le sens où les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un seul point, de même pour les trois médianes et les trois médiatrices. Ce fait me laisse vraiment perplexe. C'est cela la beauté des mathématiques.

dimanche 25 novembre 2007

A la recherche d'une suite perdue

Trouver une suite (connue) à partir de nombres entiers donnés faisant partie de cette suite, c'est ce que propose l'encyclopédie en ligne des suites d'entiers. Par exemple, si on entre la suite 1,3,5,7,9, on nous propose la suite des entiers impairs, mais pas seulement puisqu'on nous propose aussi la suite des nombres entiers dont l'écriture en bas 2 forme un palindrome (c'est-à-dire qui se lisent de la même manière de droite à gauche ou de gauche à droite).

Bien sûr, la première chose que la curiosité nous pousse à faire est de proposer une séquence de nombres sans lien logique a priori, cela dit, les suites proposées peuvent être assez compliquées pour le profane. Pour la petite anecdote, si on essaye d'entrer les nombres 4,8,15,16,23,42, l'encyclopédie renvoie comme première réponse la suite des nombres de la série télévisée Lost (attention, le commentaire est susceptible de dévoiler certains secrets de la série).

samedi 24 novembre 2007

Poésie

Les mathématiques sont la poésie des sciences.


Léopold Sédar Senghor, écrivain et poète sénégalais, père fondateur et soutien inconditionnel de la Francophonie.

jeudi 22 novembre 2007

Etymologie du terme "algèbre"

Comme dans toute science, les mathématiques disposent de tout un vocabulaire spécifique, qui a été façonné par les différentes civilisations qui ont contribué à leur construction au cours des siècles. Le terme "algèbre", désignant toute la branche des mathématiques qui consiste en l'étude systématique de lois (comme l'addition) et de la relation que les nombres ont entre eux via celles-là, vient du terme arabe "al-jabr" signifiant littéralement "réstauration". Ce terme fut pour la première fois employé à propos des mathématiques par le novateur Al-Khwarizmi, mathématicien arabe du 9ème siècle, dans un traité fondateur nommé Al-Kitâb al-mukhtasar fî hisâb al-jabr wa l-muqâbala (Livre abrégé sur le calcul par la restauration et la comparaison). Dans ce livre qui influencera fortement les générations futures de mathématiciens, il procède à l'étude systèmatique des équations du second degré en se ramenant à six cas de base, en utilisant ce qu'il nomme "restauration" (al-jabr). Un élève d'aujourd'hui qualifierait cela (de manière abusive mais ce n'est pas le sujet) comme l'action de "passer quelque chose de l'autre côté de l'égalité" lorsqu'ils résolvent une équation.



Timbre soviétique à l'effigie d'Al-Khwarizmi, dont l'origine se situerait dans l'Ouzbékistan actuelle.



C'est donc une idée très simple, mais qui est fondamentale qui est à l'origine de l'algèbre, cette idée de modifier une égalité pour la rendre plus simple à résoudre. Pourtant, à l'époque d'Al-Khwarizmi, le seul fait de penser un problème en termes d'égalité avec une grandeur inconnue est une avancée considérable, et c'est un de ses grands apports que d'avoir su extraire ce concept et de rationaliser cette idée.

dimanche 11 novembre 2007

La méthode miracle


Je crois que vous devriez être plus explicite dans la deuxième étape, ici.


(Sur le tableau, il est écrit: "Puis un miracle se produit.")

samedi 10 novembre 2007

Pôles Est et Ouest ?

Tout le monde connaît les pôles Nord et Sud de la planète Terre. En se questionnant légèrement on peut se demander pourquoi n'a-t-on rien pour l'Est et l'Ouest ? La réponse est très simple (et tout le monde comprend pourquoi): la Terre tourne autour d'un axe (voir ci-dessous) et on appelle pôle Nord et pôle Sud les deux points de la Terre qui ne changent pas de position lors de cette rotation. Avec cette définition, pour qu'il y ait un autre pôle il faudrait qu'il y ait un autre point fixe sur la surface de la Terre, ce qui n'est pas, comme on l'imagine bien.

Lorsqu'il s'agit de montrer cela rigoureusement, les affaires se compliquent. Si on assimile la surface de la Terre à une sphère, les transformations qui ne changent pas globalement cette sphère et qui conservent les distances et les angles s'appellent les transformations de Möbius (voir à ce propos une note précédente). Il faut savoir qu'une transformation de Möbius est entièrement caractérisée par la donnée de trois points. Imaginons maintenant qu'il y ait un troisième point fixe lors de la rotation de la Terre sur elle-même. Dans ce cas, cette rotation laisserait fixés les pôles Nord et Sud ainsi que ce troisième point. Mais la transformation neutre, c'est-à-dire qui envoie chaque point sur lui-même, laisserait aussi fixés ces trois points. On en déduirait que la Terre ne subirait qu'une rotation neutre, et resterait ainsi immobile par rapport à l'axe Nord-Sud, ce qui est bien entendu absurde.

lundi 5 novembre 2007

Radio-Pythagore



Il existe une multitude de démonstrations élémentaires du théorème de Pythagore. Par exemple, ce site en recense 69 différentes. Mais si on y regarde de plus près, on remarque que la quasi-totalité des preuves utilisent la notion intuitive d'aire, et le fait que celle-ci soit invariante (inchangée) lorsqu'on effectue une opération "simple" sur la figure (par exemple, une rotation, ou une symétrie). Bien que ces démonstrations soient loin d'être triviales, elles utilisent implicitement des concepts très élaborés, qui n'ont été parfaitement dégagés qu'au début du XXème siècle. En effet, le concept d'aire, aussi intuitif qu'il soit, est très difficile à définir proprement. De même, son invariance par transformation "simple" est loin d'être une chose facile à montrer lorsqu'on décide de s'attaquer rigoureusement à cette notion.

Pourtant, il existe une démonstration beaucoup plus simple (et qui ne prend qu'une ligne tout au plus), mais le prix à payer est de définir de manière précise les différents objets mis en jeu, comme un triangle rectangle, le plan dans lequel il repose, la notion d'orthogonalité...Et c'est là que se trouve la vraie difficulté, car les questions les plus basiques se posent d'elles-mêmes. Qu'est-ce qu'un plan ? Qu'est-ce qu'une droite ? Et la question qui fait frémir beaucoup de monde: qu'est-ce qu'un point ? Fort heureusement, on n'a pas besoin de pouvoir répondre à ces questions (qui ont, précisons-le, une réponse mathématique très claire) pour pouvoir utiliser ce fameux théorème de Pythagore. Qui a besoin de savoir comment fonctionne une radio pour l'écouter ? Cela ne nous dispense pas pour autant d'occulter ces questions, bien au contraire.

vendredi 2 novembre 2007

Le mystère Ramanujan


La représentation qu'on a des objets mathématiques varie très fortement d'une personne à une autre. Il est de ces gens qui saisissent au plus près certains concepts rien qu'en les apercevant. Le plus illustre d'entre eux dans l'histoire des mathématiques est sans doute Ramanujan (en photo ci-contre), célèbre mathématicien indien à qui l'on doit un nombre incalculable de formules, apparement sorties de nulle part, mais qui se révèlent pour une grande partie d'entre elles être vraies. Par exemple, les formules suivantes :


Ce qui peut paraître pour la plupart des hommes quelque chose de non trivial lui paraissait sans doute évident. Je suppose qu'il voyait ces formules de la même manière qu'on voit pourquoi 2 est le nombre qu'il faut ajouter à 3 pour obtenir 5. A ce propos, une anecdote amusante (relatée par le célèbre mathématicien Hardy) montre à quel point il comprenait et saisissait immédiatement les nombres:

Je me souviens d'une fois où j'arrivai à son chevet à Putney. J'avais été conduit par le taxi numéro 1 729 ; la morosité qui semblait émaner de ce nombre avait attiré mon attention. J'espérais qu'il ne constituait pas un mauvais présage. "Non , me répondit-il, c'est un nombre fort intéressant ; c'est le plus petit que l'on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes."

Malheureusement, toutes ces formules ont été proposées sans preuves, ce qui fait qu'aujourd'hui encore des mathématiciens essayent de les démontrer.

jeudi 1 novembre 2007