Quelque chose en théorie des groupes

Qu'est-ce que la théorie des groupes ? Voyons l'explication de James R. Newman (qui avait la particularité d'être à la fois mathématicien et avocat!):

La théorie des groupes est la branche des mathématiques dans laquelle on fait quelque chose à quelque chose et on compare le résultat avec le résultat obtenu en faisant la même chose à quelque chose d'autre, ou quelque chose d'autre à la même chose.

Désormais, vous ne pouvez pas dire que vous ne savez pas ce qu'est la théorie des groupes. Vous pouvez au moins dire que vous en savez... quelque chose.

Des rails et des noeuds

Vers la fin de la Seconde Guerre Mondiale, un mathématicien Hongrois (Paul Turán) qui travaillait dans une usine de briques, a remarqué que les petits trains qui transportaient les briques se renversaient sans cesse là où les rails se croisaient. Un ingénieur aurait repensé la conception des rails. Devinez ce que le mathématicien a fait.

Ian Stewart

Et qu'a donc fait ce mathématicien ? Il a tenté de minimiser le nombre de croisements. Cela a donné naissance à un problème très compliqué de théorie des graphes qu'aujourd'hui même on est incapable de résoudre dans le cas général.

L'âge du capitaine

En 1843, Gustave Flaubert, dans une lettre à sa soeur, écrit ces quelques lignes:

Puisque tu fais de la géométrie et de la trigonométrie, je vais te donner un problème : Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d'avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle NNE, l'horloge marque trois heures un quart d'après-midi, on est au mois de mai ... Quel est l'âge du capitaine.

Quel est l'âge du capitaine...Voilà une question qui pose problème à partir du moment où on essaye d'en apporter un réponse à partir des données précédentes. La caractère sarcastique de ce texte et son humour latent ne font que mettre plus en lumière l'absurdité de vouloir répondre à cette interrogation finale. Et pour autant qu'elle puisse ne pas être pertinente dans le contexte dans lequel elle est posée, cette question soulève bien des choses dont en particulier la question du sens, cruciale dans l'apprentissage des mathématiques.

Faire des mathématiques, ce n'est pas seulement savoir calculer, c'est aussi et surtout savoir tirer des conclusions logiques à partir d'hypothèses. Et savoir poser les bonnes questions. Dans le texte ci-dessus, la bonne question serait "Peut-on calculer l'âge du capitaine?"

Votre anniversaire dans Pi

Le site internet Am I in Pi ? (Suis-je dans Pi?) permet de trouver à partir de quelle décimale de Pi apparaît la suite des chiffres de votre date de naissance. Bien entendu, on peut aussi chercher d'autres suites de nombres. La recherche est effectuée dans les 1254543 premières décimales de Pi.

Une fois l'amusement mis de côté, on peut se demander si n'importe quelle suite de chiffres de longueur finie apparaît tôt ou tard dans les décimales de Pi. Les nombres vérifiant une telle propriété sont appelés nombres univers, et le problème de savoir si Pi est un tel nombre (ou non) est encore un problème ouvert à ce jour. On ne peut donc pas dire avec certitude qu'une date de naissance surviendra à un moment ou à un autre dans les décimales de Pi.

Existe-t-il au moins des nombres univers ? La réponse est oui. En voici un exemple très simple, appelé constante de Champernowne: il s'agit du nombre 0,123456789101112131415... où on a placé les uns à la suite des autres tous les nombres entiers naturels. Et c'est quasiment le seul exemple de nombre univers connu. Il semble que le problème de déterminer si un nombre donné est univers ou non soit d'une difficulté assez grande, mais paradoxalement on sait que la plupart des nombres réels sont des nombres univers. Le moins qu'on puisse dire c'est que cela défie notre intuition encore une fois.

< /2007 > < 2008 >

Une nouvelle année vient de débuter, en voilà une occasion pour manipuler quelques nombres! Le nombre 2008 possède quelques propriétés remarquables que je vais tenter d'exposer. Tout d'abord, ce nombre admet la décomposition en produit de facteurs premiers suivante: 2008= 2^3 * 251.

• 2008 ne peut pas être décomposé comme une somme de deux carrés en vertu d'un théorème stipulant que cela n'est possible que pour les nombres dont tous les facteurs premiers congrus à 3 modulo 4 ont un exposant pair.
  
• 2008 peut être décomposé en une somme de quatre carrés (c'est possible pour tout nombre) de 6048 manières différentes.
  
• Il y a exactement 1000 nombres inférieurs à 2008 qui sont premiers avec 2008.
  
• 2008 s'écrit 31013 en base 5 et 5566 en base 7 (palindromes).
  
• 2008 s'écrit comme la somme des deux nombres premiers 5 et 2003 (la conjecture de Goldbach affirme que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers). C'est aussi la somme des deux nombres premiers 11 et 1997, des deux nombres premiers 29 et 1979...
  
• La somme des chiffres de 2008 est égale à la somme des chiffres de ses facteurs premiers (2+0+0+8=2+2+5+1): on dit que 2008 est un nombre canular (hoax number en anglais).

Cette liste est bien entendue non exhaustive. A vous de trouver d'autres propriétés de ce nombre représentant cette nouvelle année!

Un calcul qui tourne mal....

Encyclopédies mathématiques

Il existe sur Internet plusieurs encyclopédies mathématiques. Chacun jugera par soi-même de la qualité des ressources proposées. En voici trois:

• Mathworld: très complet, très précis, de nombreuses références citées... Attention, c'est en anglais.
• Wikipedia: Très complet, malgré la maigreur de certains articles parfois.
• Encyclopaedia of Mathematics: Assez complet, d'un niveau assez elevé. Interface peu developpée. En anglais.