Un nouveau nombre premier de Mersenne découvert ?

Le 23 Août 2008, le site internet www.mersenne.org annonçait la découverte d'un nouveau nombre premier de Mersenne. Avant d'expliquer ce que sont ces nombres, précisons que cette découverte a été faite via un projet collaboratif où les calculs sont partagés sur les ordinateurs de milliers d'anonymes à travers le monde. Il suffit de télécharger un programme sur le site pour avoir la satisfaction de participer à la recherche de nouveaux nombres premiers de Mersenne.

Mais qu'est-ce qu'un nombre premier de Mersenne alors ? C'est tout simplement un nombre premier qui peut s'écrire sous la forme avec un certain entier. Par exemple, pour , on a qui est premier. On montre aisément qu'une condition nécessaire pour qu'un tel nombre soit premier est que soit lui-même un nombre premier. Hélas, cette condition n'est pas suffisante, puisque par exemple qui est divisible par . Je dis bien "hélas" car cela aurait permis de trouver un moyen très commode de fabriquer très simplement des nombres premiers très grands. Avant le 23 Août dernier, le plus grand nombre premier de Mersenne connu était le nombre qui se compose de 9808358 chiffres.

Les vérifications concernant le dernier nombre premier de Mersenne qu'on aurait découvert ne sont pas encore terminées, et interviendront vers la mi-Septembre.

A rendre fou son banquier...

Pour information, le montant du chèque est approximativement de 0,002 dollars.

De l'esprit humain en mathématiques

Either mathematics is too big for the human mind or the human mind is more than a machine

Kurt Gödel

Soit les mathématiques sont trop grandes pour l'esprit humain, soit l'esprit humain est plus qu'une machine.

La comète de Goldbach

Une très célèbre (et encore non résolue) conjecture en théorie des nombres stipule que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cette conjecture, appelée conjecture de Goldbach, a été énoncée au 18ème siècle et n'a, à ce jour, toujours pas été infirmée ou confirmée. Grâce à l'outil informatique, on suppose que cette conjecture est vraie.

Si n est un entier impair, notons G(n) le nombre de façon d'écrire l'entier n comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, si n=4, alors il n'y qu'une seule telle façon d'écrire n: 2+2 (par convention, le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier). A présent, si n=10, alors il y a exactement deux façons d'écrire n comme la somme de deux nombres premiers: 3+7 et 5+5.

Par conséquent, G(4)=1 et G(10)=2. On remarque que formulée autrement, la conjecture de Goldbach affirme que pour tout entier pair n, le nombre G(n) est non nul.

Si on décide de représenter la fonction G sur un graphe, on obtient un tracé plutôt surprenant:



Ce graphe s'appelle la comète de Goldbach. Ce qui est fascinant est le fait que si on regarde localement, on constate un certain aléa des valeurs prises par G(n) alors qu'une vision plus globale fait apparaître une certaine régularité qui donne cette forme cométaire au graphe.

Ce principe d'être localement aléatoire et globalement régulier est un principe qu'on retrouve souvent en théorie des nombres. Un exemple classique repose sur la répartition des nombres premiers et, à ce propos, citons Gérald Tenenbaum et Michel Mendès-France qui écrivent dans Les nombres premiers (Collection Que sais-je, éditions PUF):

Les nombres premiers se comportent comme les "gaz parfaits" chers aux physiciens. Appréhendée d'un point de vue externe, la distribution est - pour ainsi dire - déterministe, mais dès que l'on cherche à décrire la situation en un point donné, on constate des fluctuations statistiques comme dans un jeu de hasard où l'on sait qu'en moyenne les faces équilibreront les piles mais où, à aucun moment, on ne peut prédire le coup suivant.

Une citation de Pólya

Mathematics consists of proving the most obvious thing in the least obvious way.

Pólya.

Les mathématiques consistent à démontrer les choses les plus évidentes de la façon la moins évidente.

Patatoïdes

En mathématiques, un (et non pas "une") patatoïde est un solide de l'espace sans caractéristique particulière de symétrie, ni forme précise, contrairement par exemple à une ellipsoïde, ou encore une hyperboloïde. Par ce terme, on souhaite donc évoquer un objet spatial le plus général possible. Cependant, un patatoïde possède malgré tout quelques propriétés intéressantes: ce sont toujours des objets compacts (au sens topologique), connexes (c'est-à-dire d'un seul morceau) et même simplement connexes (c'est-à-dire sans trou).

Le triangle de Sierpinski

Voici un des exemples les plus connus de fractale (l'image provient de ce site):



Cette fractale, appelée triangle de Sierpinski, est construite suivant une méthode plutôt simple dans l'idée. Premièrement, on se donne un triangle équilatéral "plein". Puis, on lui retire une partie de son intérieur, à savoir le triangle (équilatéral) dont les sommets sont les milieux des côtés du premier triangle. On obtient alors un triangle contenant trois petits triangles équilatéraux. On applique alors la même procédure à ceux-là: on enlève les triangles équilatéraux du milieux. Et ainsi de suite.

Bien entendu, le nombre de triangles à retirer à chaque étape croît de manière exponentielle. Plus précisément, à la n-ème étape, on devra oter environ 3^n ("3 puissance n") triangles. A la vingtième intération, on aura alors enlever plus de 3 milliards de triangles.