Il existe une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude générale du raisonnement mathématique, qu'on appelle la Logique. Elle vise à clarifier et à formaliser les règles de déduction qu'on peut utiliser en mathématiques. Bien qu'il n'est en rien nécéssaire de maîtriser parfaitement cette branche pour pouvoir faire des mathématiques, elle tient une place beaucoup plus importante en informatique.
La Logique s'occupe par exemple d'étudier les paradoxes posés par le genre d'énoncé comme cette phrase ci-dessous:
Je mens.
Attardons-nous un moment sur cette phrase. Supposons qu'elle soit vraie: dans ce cas, la personne qui l'a prononcée ment bel et bien, et ainsi, il ment aussi quand il dit cette phrase, d'où une contradiction. Supposons maintenant qu'elle soit fausse: dans ce cas l'orateur ne ment pas, et donc il dit vrai quand il dit qu'il ment, ce qui est contradictoire. Nous voyons donc que cette phrase n'est ni vraie, ni fausse. Cela défie notre intuition tout de même, dans un monde où le principe du tiers-exclu prévaut (c'est-à-dire que les choses sont soient vraies, soient fausses). Les logiciens appellent ce genre d'énoncé ni vrais ni faux des énoncés indécidables.
Ce genre de choses est bien ennuyeux tout de même dans une science comme les mathématiques qui s'affaire à trier le vrai du faux. Le logicien Kurt Gödel (en photo ci-dessus) a prouvé dans les années 30 un résultat encore plus déroutant, et qui a mis fin à tous les espoirs de pouvoir classifier complètement les énoncés vrais de ceux qui sont faux, avec son célèbre théorème dit d'incomplétude qui stipule que dans les mathématiques usuelles, quelque soient les axiomes qu'on se fixe au préalable il existera toujours une proposition indécidable. En clair, il existera toujours un énoncé dont on ne pourra pas dire s'il est vrai ou faux. On peut alors admettre cet énoncé comme axiome mais cela créera un nouvel énoncé indécidable. C'est le cas de l'hypothèse du continu qui, parce qu'elle est indécidable est parfois admise comme vraie, ce qui n'empêche pas alors l'existence d'autres énoncés ni vrais, ni faux.
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