Des donuts dans l'alphabet

Voici une tasse:


Et voici un donut (célèbre patisserie américaine):


Mais quel peut bien être le rapport entre ces deux choses et les mathématiques ? Il n'est pas évident à trouver a priori. Examinons la boutade suivante:

Un spécialiste de topologie est quelqu'un qui ne fait pas la différence entre une tasse et un donut.

Les topologistes auraient donc des problèmes de vue ? Pas vraiment (du moins pas tous!) et voyons pourquoi. La topologie est une branche des mathématiques qui s'occupe (entre autres!) des formes des objets et de la déformation de ceux-là par des actions qu'on pourrait qualifier de non brutales: couper un objet avec des ciseaux ou bien fusionner deux morceaux avec de la colle ne sont pas autorisés. Imaginez de la pâte à modeler que vous modifieriez uniquement à l'aide de vos doigts, sans jamais détacher un seul morceau: c'est ce genre de transformations dont il s'agit en topologie. Pour être précis, ces transformations sont appelées (dans le jargon mathématique) des applications continues. Le terme "continues" évoque bien cette idée selon laquelle on ne découpe pas les formes, ni ne les recolle.

Revenons à nos donuts, ou plutôt à nos moutons. Comment faire pour passer d'une tasse à un donut via une transformation continue ? On peut par exemple, en supposant que l'on puisse manipuler la tasse telle de la pâte à modeler, contracter le corps de la tasse sur sa partie commune avec son anse. Comme un bon schéma vaut mieux que des lignes d'explications, la transformation effectuée est décrite par la figure suivante:

Il faut savoir qu'en topologie, on identifie deux objets qui sont tels qu'on peut passer de l'un à l'autre par une transformation continue, c'est-à-dire qu'ils sont indiscernables topologiquement parlant. D'où la boutade ci-dessus.

Amusons-nous encore un peu, cette fois-ci avec les lettres de l'alphabet. Quelles lettres de l'alphabet (écrites en capitale) ont topologiquement la même forme qu'un donut ? Voici les lettres:

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Les lettres apparentées à un donut (ou à une tasse!) sont A, D, O, Q, P et R. Les lettres C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, S, T, U, V, W, X, Y et Z s'apparent à un point. Quant à la lettre B, elle s'identifie à deux donuts qui seraient collés ensemble, comme dans la figure ci-après: