De l'intuition géométrique

En mathématiques, l'inégalité triangulaire est la propriété qui stipule que la distance parcourue pour aller de Paris à Marseille est plus courte si on s'y rend directement que si on passe par Lyon. C'est un énoncé très simplement compréhensible car il fait immédiatement appel à notre intuition géométrique.

Concrètement, si on regarde le schéma ci-dessous, cette inégalité dit que la longueur BC est plus petite que AB+AC:

Cependant, il faut prendre garde de se fier tout le temps à cette intuition géométrique. Il existe des cas où ce qui semble évident est faux, où ce qui semble logique est erroné. Par exemple, on peut montrer qu'il y a autant de points à l'intérieur d'un carré que sur n'importe lequel de ses côtés. Cela amène à reflechir sur la nature de cette intuition géométrique: se construit-elle à partir de notre perception (subjective) du monde extérieur ou bien est-elle inhérente à notre capacité de raisonner ? La réponse à cette question est, il semble, loin d'être triviale.