samedi 29 décembre 2007

Pi en musique

Voici une vidéo énumérant les 150 premières décimales du célèbre nombre pi sur fond musical. J'avoue ne pas avoir compté ni vérifié s'il y en a effectivement 150 et s'il n'y a pas d'erreurs. Ca ne sert strictement à rien, mais c'est très amusant!

mardi 25 décembre 2007

Un paradoxe amusant



Il existe une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude générale du raisonnement mathématique, qu'on appelle la Logique. Elle vise à clarifier et à formaliser les règles de déduction qu'on peut utiliser en mathématiques. Bien qu'il n'est en rien nécéssaire de maîtriser parfaitement cette branche pour pouvoir faire des mathématiques, elle tient une place beaucoup plus importante en informatique.

La Logique s'occupe par exemple d'étudier les paradoxes posés par le genre d'énoncé comme cette phrase ci-dessous:

Je mens.



Attardons-nous un moment sur cette phrase. Supposons qu'elle soit vraie: dans ce cas, la personne qui l'a prononcée ment bel et bien, et ainsi, il ment aussi quand il dit cette phrase, d'où une contradiction. Supposons maintenant qu'elle soit fausse: dans ce cas l'orateur ne ment pas, et donc il dit vrai quand il dit qu'il ment, ce qui est contradictoire. Nous voyons donc que cette phrase n'est ni vraie, ni fausse. Cela défie notre intuition tout de même, dans un monde où le principe du tiers-exclu prévaut (c'est-à-dire que les choses sont soient vraies, soient fausses). Les logiciens appellent ce genre d'énoncé ni vrais ni faux des énoncés indécidables.

Ce genre de choses est bien ennuyeux tout de même dans une science comme les mathématiques qui s'affaire à trier le vrai du faux. Le logicien Kurt Gödel (en photo ci-dessus) a prouvé dans les années 30 un résultat encore plus déroutant, et qui a mis fin à tous les espoirs de pouvoir classifier complètement les énoncés vrais de ceux qui sont faux, avec son célèbre théorème dit d'incomplétude qui stipule que dans les mathématiques usuelles, quelque soient les axiomes qu'on se fixe au préalable il existera toujours une proposition indécidable. En clair, il existera toujours un énoncé dont on ne pourra pas dire s'il est vrai ou faux. On peut alors admettre cet énoncé comme axiome mais cela créera un nouvel énoncé indécidable. C'est le cas de l'hypothèse du continu qui, parce qu'elle est indécidable est parfois admise comme vraie, ce qui n'empêche pas alors l'existence d'autres énoncés ni vrais, ni faux.

samedi 15 décembre 2007

Qu'est-ce qu'une méthode ?

Bonne question. George Polya, mathématicien hongrois (1887-1985) doté d'un sens de l'humour particulièrement affûté en pense ceci:

Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois.


Je défie quiconque de le contredire!

vendredi 14 décembre 2007

Un drôle de Sudoku



Voici une planche de Sudoku qui figure dans la bande dessinée Foxtrot de Bill Amend. Saurez-vous en trouver la solution ?

mercredi 12 décembre 2007

Les aléas des chiffres


Contrairement à ce que l'on pourrait croire, il est très difficile d'établir une liste de chiffres tirés au hasard. La première idée que l'on pourrait avoir serait de noter sur une feuille les chiffres tels qu'ils nous viennent en tête. Pourtant, cette liste ne sera pas exactement une liste de chiffres tirés au hasard. Pourquoi ? Avant tout, il faut s'entendre sur ce qu'on entend par liste de chiffres tirés au hasard. Intuitivement, on souhaite que tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent avec environ la même fréquence: en d'autres termes, on souhaite que ce tirage soit équiprobable. Cela parle tellement à notre intuition que lorsqu'un humain rédige une telle liste, il va naturellement ne favoriser aucun chiffre.

Mais cela ne suffit pas pour que notre liste de nombres soit véritablement issue du hasard. En effet, en partant d'une équiprobabilité d'apparition de tous les chiffres, on a alors affaire à un résultat qui met plus en défaut notre intuition: celui de la probabilité que des mêmes chiffres se suivent. Dans la psychologie humaine, une liste avec de nombreuses succesions du même chiffre ne pas être aléatoire. Et pourtant le calcul montre que la probabilité d'apparition d'un doublon (deux mêmes chiffres qui se suivent dans la liste) est proche de 90% (je cite de mémoire).

Comme on le voit, le problème de la génération de listes de chiffres au hasard est hautement non trivial. On pourrait alors imaginer de donner ce travail à faire à un ordinateur, qui n'est pas soumis à tout cet aspect psychologique de l'Homme. Il existe de très bons algorithmes (basés sur des suites récurrentes linéaires) permettant de générer des listes de nombres "au hasard", mais il faut garder à l'esprit qu'à partir du moment où il y a un algoithme, il n'y a plus de notion d'aléa. En effet, la suite engendrée est (en théorie du moins) complètement prédictible, puisqu'il suffit de suivre l'algorithme en question pour retrouver la liste. On parle alors de listes de chiffres pseudo-aléatoires. Cela dit, on peut malgré tout obtenir des résultats très satisfaisants à partir de machines.

Pour terminer, je propose ci-joint un exemple de table de chiffres tirés au hasard. Mais à quoi cela peut-il bien servir après tout ? Et bien, à faire des simulations. Par exemple, je veux simuler un lancer à pile ou face. Je considère la premier chiffre de chaque bloc de 5: s'il est pair, je considère que le résultat de l'experience est pile, s'il est impair, je considère que le résultat est face. Le soin de vérifier qu'on obtient statistiquement une chance sur deux d'avoir pile (ou face) est laissé au lecteur curieux de vérifier l'utilité de ces tables.

jeudi 6 décembre 2007

Le ruban de Möbius

Le ruban de Möbius est un ruban très singulier car il ne possède qu'une face et qu'une seule frontière exterieure. En voici une petite présentation à partir d'experiences simples mais très suggestives:

vendredi 30 novembre 2007

Un alignement singulier

Il est remarquable que dans un triangle quelconque l'orthocentre H (point d'intersection des trois hauteurs du triangle), le centre de gravité G (point d'intersection des trois médianes) et le centre du cercle circonscrit I (point d'intersection des trois médiatrices) soient alignés. Cela est d'autant plus surprenant qu'il n'y a a priori aucun rapport entre les notions de hauteur, de médiane et de médiatrice. Rappelons qu'une hauteur est une droite passant par un sommet d'un triangle et orthogonale au côté opposé à ce sommet; une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du segment opposé à ce sommet; et enfin une médiatrice est une droite coupant perpendiculairement un côté du triangle en son milieu. Ce sont bien des concepts très différents par définition même.




La droite passant par les trois points H, G et I (en bleu sur le schéma ci-dessus) s'appelle droite d'Euler (en l'honneur du grand mathématicien suisse qui l'a découverte).

Ce qui est surtout étonnant est le fait que ces trois points existent, dans le sens où les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un seul point, de même pour les trois médianes et les trois médiatrices. Ce fait me laisse vraiment perplexe. C'est cela la beauté des mathématiques.

dimanche 25 novembre 2007

A la recherche d'une suite perdue

Trouver une suite (connue) à partir de nombres entiers donnés faisant partie de cette suite, c'est ce que propose l'encyclopédie en ligne des suites d'entiers. Par exemple, si on entre la suite 1,3,5,7,9, on nous propose la suite des entiers impairs, mais pas seulement puisqu'on nous propose aussi la suite des nombres entiers dont l'écriture en bas 2 forme un palindrome (c'est-à-dire qui se lisent de la même manière de droite à gauche ou de gauche à droite).

Bien sûr, la première chose que la curiosité nous pousse à faire est de proposer une séquence de nombres sans lien logique a priori, cela dit, les suites proposées peuvent être assez compliquées pour le profane. Pour la petite anecdote, si on essaye d'entrer les nombres 4,8,15,16,23,42, l'encyclopédie renvoie comme première réponse la suite des nombres de la série télévisée Lost (attention, le commentaire est susceptible de dévoiler certains secrets de la série).

samedi 24 novembre 2007

Poésie

Les mathématiques sont la poésie des sciences.


Léopold Sédar Senghor, écrivain et poète sénégalais, père fondateur et soutien inconditionnel de la Francophonie.

jeudi 22 novembre 2007

Etymologie du terme "algèbre"

Comme dans toute science, les mathématiques disposent de tout un vocabulaire spécifique, qui a été façonné par les différentes civilisations qui ont contribué à leur construction au cours des siècles. Le terme "algèbre", désignant toute la branche des mathématiques qui consiste en l'étude systématique de lois (comme l'addition) et de la relation que les nombres ont entre eux via celles-là, vient du terme arabe "al-jabr" signifiant littéralement "réstauration". Ce terme fut pour la première fois employé à propos des mathématiques par le novateur Al-Khwarizmi, mathématicien arabe du 9ème siècle, dans un traité fondateur nommé Al-Kitâb al-mukhtasar fî hisâb al-jabr wa l-muqâbala (Livre abrégé sur le calcul par la restauration et la comparaison). Dans ce livre qui influencera fortement les générations futures de mathématiciens, il procède à l'étude systèmatique des équations du second degré en se ramenant à six cas de base, en utilisant ce qu'il nomme "restauration" (al-jabr). Un élève d'aujourd'hui qualifierait cela (de manière abusive mais ce n'est pas le sujet) comme l'action de "passer quelque chose de l'autre côté de l'égalité" lorsqu'ils résolvent une équation.



Timbre soviétique à l'effigie d'Al-Khwarizmi, dont l'origine se situerait dans l'Ouzbékistan actuelle.



C'est donc une idée très simple, mais qui est fondamentale qui est à l'origine de l'algèbre, cette idée de modifier une égalité pour la rendre plus simple à résoudre. Pourtant, à l'époque d'Al-Khwarizmi, le seul fait de penser un problème en termes d'égalité avec une grandeur inconnue est une avancée considérable, et c'est un de ses grands apports que d'avoir su extraire ce concept et de rationaliser cette idée.

dimanche 11 novembre 2007

La méthode miracle


Je crois que vous devriez être plus explicite dans la deuxième étape, ici.


(Sur le tableau, il est écrit: "Puis un miracle se produit.")

samedi 10 novembre 2007

Pôles Est et Ouest ?

Tout le monde connaît les pôles Nord et Sud de la planète Terre. En se questionnant légèrement on peut se demander pourquoi n'a-t-on rien pour l'Est et l'Ouest ? La réponse est très simple (et tout le monde comprend pourquoi): la Terre tourne autour d'un axe (voir ci-dessous) et on appelle pôle Nord et pôle Sud les deux points de la Terre qui ne changent pas de position lors de cette rotation. Avec cette définition, pour qu'il y ait un autre pôle il faudrait qu'il y ait un autre point fixe sur la surface de la Terre, ce qui n'est pas, comme on l'imagine bien.

Lorsqu'il s'agit de montrer cela rigoureusement, les affaires se compliquent. Si on assimile la surface de la Terre à une sphère, les transformations qui ne changent pas globalement cette sphère et qui conservent les distances et les angles s'appellent les transformations de Möbius (voir à ce propos une note précédente). Il faut savoir qu'une transformation de Möbius est entièrement caractérisée par la donnée de trois points. Imaginons maintenant qu'il y ait un troisième point fixe lors de la rotation de la Terre sur elle-même. Dans ce cas, cette rotation laisserait fixés les pôles Nord et Sud ainsi que ce troisième point. Mais la transformation neutre, c'est-à-dire qui envoie chaque point sur lui-même, laisserait aussi fixés ces trois points. On en déduirait que la Terre ne subirait qu'une rotation neutre, et resterait ainsi immobile par rapport à l'axe Nord-Sud, ce qui est bien entendu absurde.

lundi 5 novembre 2007

Radio-Pythagore



Il existe une multitude de démonstrations élémentaires du théorème de Pythagore. Par exemple, ce site en recense 69 différentes. Mais si on y regarde de plus près, on remarque que la quasi-totalité des preuves utilisent la notion intuitive d'aire, et le fait que celle-ci soit invariante (inchangée) lorsqu'on effectue une opération "simple" sur la figure (par exemple, une rotation, ou une symétrie). Bien que ces démonstrations soient loin d'être triviales, elles utilisent implicitement des concepts très élaborés, qui n'ont été parfaitement dégagés qu'au début du XXème siècle. En effet, le concept d'aire, aussi intuitif qu'il soit, est très difficile à définir proprement. De même, son invariance par transformation "simple" est loin d'être une chose facile à montrer lorsqu'on décide de s'attaquer rigoureusement à cette notion.

Pourtant, il existe une démonstration beaucoup plus simple (et qui ne prend qu'une ligne tout au plus), mais le prix à payer est de définir de manière précise les différents objets mis en jeu, comme un triangle rectangle, le plan dans lequel il repose, la notion d'orthogonalité...Et c'est là que se trouve la vraie difficulté, car les questions les plus basiques se posent d'elles-mêmes. Qu'est-ce qu'un plan ? Qu'est-ce qu'une droite ? Et la question qui fait frémir beaucoup de monde: qu'est-ce qu'un point ? Fort heureusement, on n'a pas besoin de pouvoir répondre à ces questions (qui ont, précisons-le, une réponse mathématique très claire) pour pouvoir utiliser ce fameux théorème de Pythagore. Qui a besoin de savoir comment fonctionne une radio pour l'écouter ? Cela ne nous dispense pas pour autant d'occulter ces questions, bien au contraire.

vendredi 2 novembre 2007

Le mystère Ramanujan


La représentation qu'on a des objets mathématiques varie très fortement d'une personne à une autre. Il est de ces gens qui saisissent au plus près certains concepts rien qu'en les apercevant. Le plus illustre d'entre eux dans l'histoire des mathématiques est sans doute Ramanujan (en photo ci-contre), célèbre mathématicien indien à qui l'on doit un nombre incalculable de formules, apparement sorties de nulle part, mais qui se révèlent pour une grande partie d'entre elles être vraies. Par exemple, les formules suivantes :


Ce qui peut paraître pour la plupart des hommes quelque chose de non trivial lui paraissait sans doute évident. Je suppose qu'il voyait ces formules de la même manière qu'on voit pourquoi 2 est le nombre qu'il faut ajouter à 3 pour obtenir 5. A ce propos, une anecdote amusante (relatée par le célèbre mathématicien Hardy) montre à quel point il comprenait et saisissait immédiatement les nombres:

Je me souviens d'une fois où j'arrivai à son chevet à Putney. J'avais été conduit par le taxi numéro 1 729 ; la morosité qui semblait émaner de ce nombre avait attiré mon attention. J'espérais qu'il ne constituait pas un mauvais présage. "Non , me répondit-il, c'est un nombre fort intéressant ; c'est le plus petit que l'on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes."

Malheureusement, toutes ces formules ont été proposées sans preuves, ce qui fait qu'aujourd'hui encore des mathématiciens essayent de les démontrer.

jeudi 1 novembre 2007

mercredi 31 octobre 2007

Un éléphant, ça trompe énormément

Gerald Sussman (spécialiste en mathématiques et en informatique que j'avoue ne pas connaître), est l'auteur de la citation suivante:

En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d'appeler un opérateur auto-adjoint un éléphant" et une décomposition spectrale une "trompe". On peut alors démontrer un théorème suivant lequel "tout éléphant à une trompe". Mais on n'a pas le droit de laisser croire que ce résultat a quelque chose à voir avec de gros animaux gris.

Au-délà du bon mot qui est fait, cette citation amène à réflechir sur la place de la notion de définition en mathématiques. Une partie de cette science consiste à savoir poser les bonnes définitions -l'autre à savoir prouver des énoncés non triviaux-, toute la difficulté étant de comprendre quels sont les objets pertinents à mettre en lumière pour leur étude systématique. Bien souvent, c'est avec l'experience qu'ils apparaîssent d'eux-mêmes, comme par exemple avec le concept de fraction qui se détache de lui-même lorsqu'on est devant un problème de partage. Parfois il faut un effort très important pour pouvoir détacher une notion: c'est le cas des espaces vectoriels, qui apparaissent dans un grand nombre de situations diverses et variées, et qu'il a fallu extraire parmi une multitude d'autres choses.

Pour en revenir à la citation de Sussman, il est sous-entendu dans celle-ci qu'une fois que la définition est posée, il ne faut pas oublier ce que représentent les objets qu'elle dénomme. Il est donc logique d'essayer de donner des noms qui évoquent le plus les propriétés de l'objet en question. Cette question, qui n'a alors plus rien à voir avec les mathématiques à proprement parler, a pourtant créé un débat lorsque le collectif Bourbaki a tenté de donner des noms très évocateurs à des objets usuels en mathématiques lors de l'élaboration de son traité "Elements de mathématique" (notez l'orthographe du mot "mathématique" au singulier). Depuis, on peut voir des mots comme "boule", "pavé" etc...

Les commandements du mauvais matheux

Savoir se discréditer tout seul en mathématiques est un art. Pour certains, cela est inné. Pour les autres, il va falloir développer certaines capacités, tels la rigueur dans le non sens, la négligence dans les calculs, le sens de la contradiction avec soi-même... De manière plus pragmatique, voici quelques conseils à suivre:

1/ Par zéro tu diviseras.

2/ Quand tu multiplies par un nombre négatif, le sens des inégalités tu ne changeras pas.

3/ Sans précaution, les limites tu intervertiras.

4/ Des probabilités plus grande que 1 tu trouveras.

5/ Les quantificateurs universel et existentiel tu confondras.

6/ (a+b)²=a²+b² tu décreteras.

7/ Toutes les matrices tu inverseras.

8/ Linéaire la fonction sinus sera.

9/ A des triangles non rectangles le théorème de Pythagore tu appliqueras.

10/ Dérivable toute fonction continue sera.

Cette liste est bien entendu non exhaustive, mais a le mérite de présenter des conseils pour mathématiciens de différents niveaux. Nul doute qu'elle constituera une précieuse aide pour tous ceux qui souhaitent progresser dans le chemin du "1=0"...

lundi 29 octobre 2007

De l'intuition géométrique

En mathématiques, l'inégalité triangulaire est la propriété qui stipule que la distance parcourue pour aller de Paris à Marseille est plus courte si on s'y rend directement que si on passe par Lyon. C'est un énoncé très simplement compréhensible car il fait immédiatement appel à notre intuition géométrique.

Concrètement, si on regarde le schéma ci-dessous, cette inégalité dit que la longueur BC est plus petite que AB+AC:

Cependant, il faut prendre garde de se fier tout le temps à cette intuition géométrique. Il existe des cas où ce qui semble évident est faux, où ce qui semble logique est erroné. Par exemple, on peut montrer qu'il y a autant de points à l'intérieur d'un carré que sur n'importe lequel de ses côtés. Cela amène à reflechir sur la nature de cette intuition géométrique: se construit-elle à partir de notre perception (subjective) du monde extérieur ou bien est-elle inhérente à notre capacité de raisonner ? La réponse à cette question est, il semble, loin d'être triviale.

Un peu d'humour...