samedi 29 décembre 2007

Pi en musique

Voici une vidéo énumérant les 150 premières décimales du célèbre nombre pi sur fond musical. J'avoue ne pas avoir compté ni vérifié s'il y en a effectivement 150 et s'il n'y a pas d'erreurs. Ca ne sert strictement à rien, mais c'est très amusant!

mardi 25 décembre 2007

Un paradoxe amusant



Il existe une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude générale du raisonnement mathématique, qu'on appelle la Logique. Elle vise à clarifier et à formaliser les règles de déduction qu'on peut utiliser en mathématiques. Bien qu'il n'est en rien nécéssaire de maîtriser parfaitement cette branche pour pouvoir faire des mathématiques, elle tient une place beaucoup plus importante en informatique.

La Logique s'occupe par exemple d'étudier les paradoxes posés par le genre d'énoncé comme cette phrase ci-dessous:

Je mens.



Attardons-nous un moment sur cette phrase. Supposons qu'elle soit vraie: dans ce cas, la personne qui l'a prononcée ment bel et bien, et ainsi, il ment aussi quand il dit cette phrase, d'où une contradiction. Supposons maintenant qu'elle soit fausse: dans ce cas l'orateur ne ment pas, et donc il dit vrai quand il dit qu'il ment, ce qui est contradictoire. Nous voyons donc que cette phrase n'est ni vraie, ni fausse. Cela défie notre intuition tout de même, dans un monde où le principe du tiers-exclu prévaut (c'est-à-dire que les choses sont soient vraies, soient fausses). Les logiciens appellent ce genre d'énoncé ni vrais ni faux des énoncés indécidables.

Ce genre de choses est bien ennuyeux tout de même dans une science comme les mathématiques qui s'affaire à trier le vrai du faux. Le logicien Kurt Gödel (en photo ci-dessus) a prouvé dans les années 30 un résultat encore plus déroutant, et qui a mis fin à tous les espoirs de pouvoir classifier complètement les énoncés vrais de ceux qui sont faux, avec son célèbre théorème dit d'incomplétude qui stipule que dans les mathématiques usuelles, quelque soient les axiomes qu'on se fixe au préalable il existera toujours une proposition indécidable. En clair, il existera toujours un énoncé dont on ne pourra pas dire s'il est vrai ou faux. On peut alors admettre cet énoncé comme axiome mais cela créera un nouvel énoncé indécidable. C'est le cas de l'hypothèse du continu qui, parce qu'elle est indécidable est parfois admise comme vraie, ce qui n'empêche pas alors l'existence d'autres énoncés ni vrais, ni faux.

samedi 15 décembre 2007

Qu'est-ce qu'une méthode ?

Bonne question. George Polya, mathématicien hongrois (1887-1985) doté d'un sens de l'humour particulièrement affûté en pense ceci:

Une méthode est un truc qui a été utilisé plusieurs fois.


Je défie quiconque de le contredire!

vendredi 14 décembre 2007

Un drôle de Sudoku



Voici une planche de Sudoku qui figure dans la bande dessinée Foxtrot de Bill Amend. Saurez-vous en trouver la solution ?

mercredi 12 décembre 2007

Les aléas des chiffres


Contrairement à ce que l'on pourrait croire, il est très difficile d'établir une liste de chiffres tirés au hasard. La première idée que l'on pourrait avoir serait de noter sur une feuille les chiffres tels qu'ils nous viennent en tête. Pourtant, cette liste ne sera pas exactement une liste de chiffres tirés au hasard. Pourquoi ? Avant tout, il faut s'entendre sur ce qu'on entend par liste de chiffres tirés au hasard. Intuitivement, on souhaite que tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent avec environ la même fréquence: en d'autres termes, on souhaite que ce tirage soit équiprobable. Cela parle tellement à notre intuition que lorsqu'un humain rédige une telle liste, il va naturellement ne favoriser aucun chiffre.

Mais cela ne suffit pas pour que notre liste de nombres soit véritablement issue du hasard. En effet, en partant d'une équiprobabilité d'apparition de tous les chiffres, on a alors affaire à un résultat qui met plus en défaut notre intuition: celui de la probabilité que des mêmes chiffres se suivent. Dans la psychologie humaine, une liste avec de nombreuses succesions du même chiffre ne pas être aléatoire. Et pourtant le calcul montre que la probabilité d'apparition d'un doublon (deux mêmes chiffres qui se suivent dans la liste) est proche de 90% (je cite de mémoire).

Comme on le voit, le problème de la génération de listes de chiffres au hasard est hautement non trivial. On pourrait alors imaginer de donner ce travail à faire à un ordinateur, qui n'est pas soumis à tout cet aspect psychologique de l'Homme. Il existe de très bons algorithmes (basés sur des suites récurrentes linéaires) permettant de générer des listes de nombres "au hasard", mais il faut garder à l'esprit qu'à partir du moment où il y a un algoithme, il n'y a plus de notion d'aléa. En effet, la suite engendrée est (en théorie du moins) complètement prédictible, puisqu'il suffit de suivre l'algorithme en question pour retrouver la liste. On parle alors de listes de chiffres pseudo-aléatoires. Cela dit, on peut malgré tout obtenir des résultats très satisfaisants à partir de machines.

Pour terminer, je propose ci-joint un exemple de table de chiffres tirés au hasard. Mais à quoi cela peut-il bien servir après tout ? Et bien, à faire des simulations. Par exemple, je veux simuler un lancer à pile ou face. Je considère la premier chiffre de chaque bloc de 5: s'il est pair, je considère que le résultat de l'experience est pile, s'il est impair, je considère que le résultat est face. Le soin de vérifier qu'on obtient statistiquement une chance sur deux d'avoir pile (ou face) est laissé au lecteur curieux de vérifier l'utilité de ces tables.

jeudi 6 décembre 2007

Le ruban de Möbius

Le ruban de Möbius est un ruban très singulier car il ne possède qu'une face et qu'une seule frontière exterieure. En voici une petite présentation à partir d'experiences simples mais très suggestives: