mercredi 25 juin 2008

La comète de Goldbach

Une très célèbre (et encore non résolue) conjecture en théorie des nombres stipule que tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. Cette conjecture, appelée conjecture de Goldbach, a été énoncée au 18ème siècle et n'a, à ce jour, toujours pas été infirmée ou confirmée. Grâce à l'outil informatique, on suppose que cette conjecture est vraie.

Si n est un entier impair, notons G(n) le nombre de façon d'écrire l'entier n comme la somme de deux nombres premiers. Par exemple, si n=4, alors il n'y qu'une seule telle façon d'écrire n: 2+2 (par convention, le nombre 1 n'est pas considéré comme un nombre premier). A présent, si n=10, alors il y a exactement deux façons d'écrire n comme la somme de deux nombres premiers: 3+7 et 5+5.

Par conséquent, G(4)=1 et G(10)=2. On remarque que formulée autrement, la conjecture de Goldbach affirme que pour tout entier pair n, le nombre G(n) est non nul.

Si on décide de représenter la fonction G sur un graphe, on obtient un tracé plutôt surprenant:



Ce graphe s'appelle la comète de Goldbach. Ce qui est fascinant est le fait que si on regarde localement, on constate un certain aléa des valeurs prises par G(n) alors qu'une vision plus globale fait apparaître une certaine régularité qui donne cette forme cométaire au graphe.

Ce principe d'être localement aléatoire et globalement régulier est un principe qu'on retrouve souvent en théorie des nombres. Un exemple classique repose sur la répartition des nombres premiers et, à ce propos, citons Gérald Tenenbaum et Michel Mendès-France qui écrivent dans Les nombres premiers (Collection Que sais-je, éditions PUF):

Les nombres premiers se comportent comme les "gaz parfaits" chers aux physiciens. Appréhendée d'un point de vue externe, la distribution est - pour ainsi dire - déterministe, mais dès que l'on cherche à décrire la situation en un point donné, on constate des fluctuations statistiques comme dans un jeu de hasard où l'on sait qu'en moyenne les faces équilibreront les piles mais où, à aucun moment, on ne peut prédire le coup suivant.

6 commentaires:

wouf a dit…

Tout ce qui touche aux nombres premiers est fort intéressant !

Merci

Maths a dit…

Je suis entièrement d'accord, et cela d'autant plus que les énoncés concernant la théorie des nombres sont souvent très simples à comprendre (et beaucoup moins à résoudre...)

Mamane a dit…

Ca fait depuis un certain temps que je travaille sur cette conjecture (à titre personnel).

Depuis 2005 je n'arrive pas à casser ma démonstration peut-être que vous pouvez m'aider ?

http://mamanedotcom.blogspot.com/2008/07/un-peu-de-math-en-attendant.html

je peux vous transmettre le pdf de ma démonstration par mail au besoin

Anonyme a dit…

Je suis un amateur, j'ai établi une proposition de démonstration de la conjecture de goldbach. Je l'ai transmise à des mathématiciens compétents.
A partir de ma proposition, il est très facile pour un mathématicien averti d'interpréter la comète.

morandiere a dit…

mamane je n'arrive pas a ouvrir le lien, pourrais tu m'envoyer ton pdf à l'adrese se.morandiere@laposte.net ?
merci d'avance et bonne chance

Anonyme a dit…

Ma proposition de démonstration de la conjecture de Goldbach référencée 1506,0121 du 15/6/2015 sous VIXRA.ORG permet de comprendre aisément la répartition des points de cette comète.
JP MORVAN