vendredi 5 juin 2009

Comment tracer un décagone ?

Voici une manière de construire un décagone à la règle et au compas. Rappelons qu'un décagone est un polygone régulier à 10 côtés.

  1. Tracer un cercle (c1) de centre O; tracer un diamètre [IA] de ce cercle, puis le cercle (c2) de centre I et de rayon IA.
  2. Construire un rayon [IB] perpendiculaire à [IA]. Tracer la droite (BO). Elle coupe le petit cercle (c1) en J et K avec BJ <>
  3. Construire le cercle (c3) de centre B passant par J. Ce cercle rencontre le grand cercle (c2) en B1 et en B9. Reporter la distance BB1 sur ce grand cercle: on note ce point B2. Construire de même B3, B4 etc.



Contrairement à ce qu'on pourrait croire, tous les polygones réguliers ne sont pas constructibles à la règle et au compas. Par exemple, il est impossible de construire à la règle et au compas un heptagone (polygone régulier à 7 côtés).

La constructibilité ou non d'un polygone régulier à n côtés n'est possible que si le nombre n peut s'écrire comme le produit d'une puissance (éventuellement nulle) de 2 avec un ou plusieurs nombres de Fermat.

Qu'appelle-t-on un nombre de Fermat ? C'est tout simplement un nombre qui peut s'écrire sous la forme 2^(2^q)+1 (avec q un certain nombre entier naturel). Par exemple, 5 est un nombre de Fermat car 5 = 2^(2^1) + 1.

Revenons à notre décagone. Pourquoi est-il constructible alors ? Il faut remarquer que 10 = 2 x 5. C'est bien le produit d'une puissance de 2 avec un nombre de Fermat (5).

5 commentaires:

Biologie a dit…

Bonjour,

Je souhaiterai lancer un site regroupant les différents blogs parlant de mathématique, afin d'avoir un portail pour la communauté.
Vous pouvez voir un exemple de ce que ca donne sur http://mu.biologie-france.com/mathematique/

Seules les personnes intéressés par le projet serait sur la version finale du site, et bien sur les articles ne sont jamais présents en entier sur le site, mais sont redirigés sur votre page.
Si vous souhaitez participer merci de me le faire savoir, et n'hésitez pas à faire passer le message à d'autres personnes qui pourraient être intéressées.

Cordialement

Sébastien Revollon

Anonyme a dit…

criss personne va comprendre comment osti d'fou
de toute facon ça suce les math

Anonyme a dit…

Hey M. Anonyme!
Je crois qu'en plus d'être mauvais en maths, tu ne sais pas lire car au cas où tu ne l'aurait pas remarqué, le titre du site c'est: blogdemath!!!
Gros cave!

Morlot Philippe a dit…

Il est possible de créer un hexagone régulier avec une règle et un compas.
Tracez un cercle de rayon OA. De A repérez sur le cercle J et J' avec le même rayon. Tracez JJ' et trouvez I le milieu du segment. Reportez régulièrement 7 fois IJ à partir de A, par exemple. Reliez les points repérés et vous obtenez un hexagone régulier. Il ne faut rien affirmer sans l'avoir rigoureusement démontré. Passionné de dessin, j'ai constitué une base de tracés de figures uniquement réalisées au compas du triangle à ...

Voaary a dit…

Bravo pour cet article fascinant et clair