Un alignement singulier

Il est remarquable que dans un triangle quelconque l'orthocentre H (point d'intersection des trois hauteurs du triangle), le centre de gravité G (point d'intersection des trois médianes) et le centre du cercle circonscrit I (point d'intersection des trois médiatrices) soient alignés. Cela est d'autant plus surprenant qu'il n'y a a priori aucun rapport entre les notions de hauteur, de médiane et de médiatrice. Rappelons qu'une hauteur est une droite passant par un sommet d'un triangle et orthogonale au côté opposé à ce sommet; une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du segment opposé à ce sommet; et enfin une médiatrice est une droite coupant perpendiculairement un côté du triangle en son milieu. Ce sont bien des concepts très différents par définition même.




La droite passant par les trois points H, G et I (en bleu sur le schéma ci-dessus) s'appelle droite d'Euler (en l'honneur du grand mathématicien suisse qui l'a découverte).

Ce qui est surtout étonnant est le fait que ces trois points existent, dans le sens où les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un seul point, de même pour les trois médianes et les trois médiatrices. Ce fait me laisse vraiment perplexe. C'est cela la beauté des mathématiques.