jeudi 4 septembre 2008

Pourquoi la conjecture de Goldbach ne sera jamais démontrée par un amateur

Parmi les nombreux sujets qui fleurissent chaque jour sur les différents fora consacrés aux mathématiques, il en est certains qui sont récurrents. J'ai vu de nombreuses personnes clamer haut et fort qu'elles avaient démontré la conjecture de Goldbach, et ceci avec des outils élémentaires. Nonobstant, un examen minutieux par les différents participants à ces fora fait apparaître dans tous les cas une faille dans les preuves proposées.

La conjecture de Goldbach est, dans son énoncé, d'une simplicité diabolique, ce qui la rend compréhensible par la plupart des profanes, et une bonne partie de ceux-là décide de s'attaquer à sa résolution. Cette entreprise serait parfaitement louable si les motivations de ces personnes n'étaient pas de prouver cette conjecture mais plutôt de l'étudier afin de comprendre pourquoi elle est aussi difficile.

La plupart du temps, les preuves apportées par ces néophytes (que je ne dénigre pas du tout, bien au contraire) utilisent des outils élémentaires à savoir des outils enseignés au niveau du lycée voire au niveau BAC+1. Cela suppose donc implicitement qu'il existe une démonstration de cette conjecture d'une extrême simplicité. C'est de ce postulat de base qu'ils partent lorsqu'ils se lancent dans la recherche d'une démonstration.

Cette conjecture est vieille de plus de 350 ans et a été soumise à de nombreux mathématiciens d'exception comme Leonhard Euler (sans aucun doute le plus grand mathématicien de son époque), Gauss ou encore d'immenses mathématiciens du XXème siècle (Hardy et Littlewood, Erdös, j'en passe et des meilleurs...). Si une démonstration simple existait de cette conjecture, nul doute que ces éminents talents l'auraient trouvée depuis un certain temps déjà. Un autre argument consiste à constater qu'une forme dite faible de la conjecture de Goldbach a été prouvée pour les nombres assez grands par le mathématicien Vinogradov en 1937. La preuve qu'il a proposée repose sur des concepts assez élaborés et sur une méthode (dite méthode du cercle) inventée par Hardy et Littlewood vers le début du XXème siècle. A fortiori, la conjecture forte de Goldbach (celle qu'on connaît tous) sera difficilement prouvable de manière élémentaire.
Pourtant, le mythe selon lequel un amateur puisse un jour être soumis à une révélation et découvrir l'idée géniale que personne n'aurait trouvée depuis plus de trois siècles et demi subsiste toujours. En pratique, il n'existe pas d'exemple à ma connaissance d'amateur ayant résolu un problème très difficile de manière miraculeuse. Si je devais proposer une explication à cette légende bien ancrée dans la société, je pencherais sur la fascination qu'exerce les mathématiques sur les gens, et sur l'aura quasi-mystique qui les entoure. Peut-être vais-je briser des milliers de rêves (ou de cauchemars) en disant cela, mais les mathématiques sont tout simplement le fruit d'un long processus stratiforme.

212 commentaires:

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BERKOUK a dit…

bonjour
"pourquoi la conjecture de Goldbach ne sera jamais démontré par un amateur "

pour démontrer que cette assertion est fausse ,il existe au moins deux démonstrations
celle de Mr JP MORVAN , et la mienne que je vous expose dans ce lien :
http://vixra.org/pdf/1507.0196v3.pdf

en espérant que cela répondra à votre question du départ.

BERKOUK M.

Anonyme a dit…

Aucun mathématicien n'a démontré et aucun mathématicien ne démontrera que ma proposition de démonstration de la conjecture de Goldbach est fausse.
JP MORVAN

Anonyme a dit…

Si la conjecture de Goldbach est vraie, ce n'est pas par hasard.

Plus le nombre pair est grand et plus on dispose de nombres premiers inférieurs à ce nombre pair ; mais plus le nombre pair est grand et plus on dispose aussi de nombres non premiers inférieurs à ce nombre pair. Le problème est de savoir si pour chaque nombre pair, nous disposons de suffisamment de nombres premiers pour établir une association de nombres premiers tels que la somme soit égal au nombre pair.

En 1997, je prétends avoir démontré que pour un nombre pair donné, la quantité de possibilités est toujours au moins égale à la valeur entière du quart de la racine du nombre pair. En 18 ans, aucun mathématicien n'a pu remettre en cause ma démonstration, et aucun mathématicien ne remettra en cause ma démonstration. Il n’y a probablement aucune autre façon de démontrer la conjecture de Goldbach.

En l’an 2000, les éditions Faber et Faber proposent un prix d’un million de dollars à celui qui démontre la conjecture de Goldbach, en stipulant «  La preuve doit être soumise à une revue mathématique respectable dans les deux ans de la publication la semaine prochaine de l'ouvrage, et publié dans les quatre ans. Un groupe de mathématiciens de renommée mondiale sera nommé pour décider si la preuve est valide » .
Le problème n’était pas de démontrer la conjecture de Goldbach, mais de trouver une revue mathématique respectable. Depuis 1997, je n’ai pas relâché mes efforts pour trouver le spécialiste en théorie des nombres qui accepterait ma proposition. Je n'ai pas trouvé de spécialiste et je n’ai pas eu le million de dollars.

Depuis 6 mois (juin 2015), ma proposition en 16 pages, est disponible sur vixra.org/mathématiques/théorie des nombres sous le numéro 1506,0121 ; c’est probablement la seule proposition qui démontre la conjecture de Goldbach qui date de 1742.

Si vous pensez que la conjecture est démontrée, n’hésitez pas à le faire savoir; lorsque ma proposition sera acceptée, je proposerais d’autres propositions de démonstrations mathématiques.

Et je signe
Jean Pierre MORVAN

Anonyme a dit…

Bonjour,

M. Jean-Pierre Morvan,

Concernant la forme tout d'abord, j'ai trouvé plusieurs choses dans votre démonstration qui peuvent expliquer que l'on ne la lise pas en détails, mais que l'on puisse malgré cela être convaincu qu'elle est fausse:

-Certaines formulations sont maladroites : vous dites :
"Après suppression des nombres pairs et des multiples de 3, la quantité d’associations restante est au moins égale n[1/2]*[2/3] par défaut. Les nombres 2 et 3 étant premiers et donc premiers entre eux, quelle que soit n, la quantité d’associations restante est au moins égale n/6 par défaut."
mais le fait que le nombre d'associations restantes soit au moins égal à n/6, compte tenu de la phrase précédente, vient juste du fait que 1/2*1/3=1/6 (d'ailleurs il y a une faute de frappe, 2/3 au lieu de 1/3), la primalité relative de 2 et 3 intervient dans cette phrase précédente pour la prouver. Vous auriez pu écrire (d'ailleurs peut-être avez-vous cru le faire) :
"Après suppression des nombres pairs et des multiples de 3, la quantité d’associations restante est au moins égale n[1/2]*[1/3] par défaut, les nombres 2 et 3 étant premiers et donc premiers entre eux. Quelle que soit n, la quantité d’associations restante est au moins égale n/6 par défaut."
Pire dans le nota 1:
"Il en résulte que :
(1/2)*(2/3) est égale à 1/3 quelle que soit n.
[...]"

-Il n'y a pas de définitions explicites, il faut comprendre le sens des termes d'après l'utilisation que vous en faites, et de plus leur sens dépend du contexte : au début, on comprend "par défaut" comme étant la partie entière, puis viennent des expressions du type "n[1 - 1/2 par défaut]*[1 - 1/3 par défaut]", qui, si l'on garde cette définition, valent 0, ce qui n'est clairement pas le cas. On peut comprendre "n[1-x par défaut]" comme étant "n-(nx par défaut)" mais "n[1 - 1/2 par défaut]*[1 - 1/3 par défaut]" pose plus de difficultés, je l'ai interprété comme étant "(n-n/2 par défaut)-((n-n/2 par défaut)/3 par défaut)".
Le "par défaut ou par excès" peut sembler vague alors que cela désigne quelque chose de précis.
Les * et les crochets semblent parfois avoir une signification particulière (la seule que j'aie clairement identifié étant la place de l'étoile qui indique la définition des "par excès ou par défaut") même si on peut toujours les interpréter comme des produits et des parenthèses, aux termes d'erreur (dont je parle plus loin) près.

-Vous traitez les cas où l'on supprime les multiples de deux, trois ou quatre nombres premiers des associations et vous dites "nous avons démontré" et énoncez le cas général. À défaut de traiter explicitement le cas général, une mention du type "cette méthode se généralise au cas d'un nombre quelconque de suppressions", avec éventuellement des détails sur la manière de généraliser la méthode, donnerais beaucoup plus de rigueur à votre texte.

Anonyme a dit…

Concernant le fond, le point qui ne me semble pas clair est lorsque vous factorisez des sommes comportant des "par défaut" et des "par excès ou par défaut", cela doit faire apparaître des termes d'erreur, dont vous ne parlez pas, mais dont il faut montrer qu'ils ne dépassent pas n(1/2)*(1/3)*(3/5)*...*((u-2)/u) négativement. Et dans la somme qui exprime le nombre d'association restantes après suppression de celles qui comportent au moins un multiple d'un nombre premier inférieur à u, il y a un nombre de termes que l'on peut qualifier de gênants - c'est à dire ajoutés et comportant un "par défaut", ou soustraits et comportant un "par excès ou par défaut" - de l'ordre de 2^pi(u) où pi est la fonction qui à x associe le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Et si u est de l'ordre de (2n)^1/2, pi(u) sera de l'ordre de 2((2n)^1/2)/ln(2n) pour n assez grand donc le nombre termes gênants sera très grand devant n, sachant que chaque "par défaut" ou "par excès" dans un terme gênant diminue le résultat d'une quantité qui peut a priori être proche de 1. Il faudrait donc que vous expliquiez pourquoi vous pouvez ne pas en tenir compte.

En espérant faire avancer les choses.

A.C.

Anonyme a dit…

Monsieur A.C.

Vous vous permettez de critiquer ma proposition ; je me permets de critiquer vos commentaires.
J'aurai aimé que vous les rapprochiez aux paragraphes auxquels ils se rapportent .

Paragraphe 1, 2ième alinéa
Après suppression des nombres pairs et des multiples de 3,......................., vous avez raison, il y a une faute de frappe (2/3 au lieu de 1/3).

Nota 1
Oui, (1/2)*(2/3) est égale à 1/3 quelle que soit la valeur de n, (je parle bien sûr de n du nota 1)

Annexe A
Le « par défaut » est la valeur entière inférieure
Le « par excès » est la valeur entière supérieure
n[1 – ½ par défaut] est la valeur entière inférieure de n/2
n[1 – ½ par défaut]*[1 – 1/3 par défaut] est la valeur entière inférieure de n/3
Votre définition est différent de la mienne, et elle ne permettrait pas de faire des simplifications.

Le « par défaut ou par excès » peut vous sembler vague, cela veut dire tout simplement que la valeur peut être entière inférieure ou supérieure.
Le « * » représente le produit.

Paragraphe 4, 5ième alinéa
Vous traitez les cas où l'on supprime les multiples de2, de 3, de 5, des associations et je dis nous avons démontré « nous avons démontré » et j'énonce le cas général .
Oui , j'assume, c'est ma façon de démontrer par récurrence. Elle n'est pas fausse.
Je ne conteste pas la vôtre qui consiste à dire que cette méthode se généralise au cas d'un nombre quelconque de suppressions , et en rajoutant des détails sur la manière de généraliser la méthode.

Concernant le fond, le point qui ne me semble pas clair est lorsque vous factorisez des sommes comportant des « par défaut » et des « par excès défaut », cela fait apparaître des termes d'erreurs dont vous ne parlez pas.................................... Je ne sais pas de quel paragraphe il s'agit.
Ce qui m'intéresse, ce n'est pas de calculer la quantité exacte de possibilités de sommes, mais de connaître la quantité minimale de possibilités qui permet de démontrer la conjecture .
En respectant les « par défaut » et les « par défaut ou par excès », j'ai respecté les respecté les quantités minimales. Si vous pensez avoir constaté une erreur, je vous demanderais d'être plus précis.

Je ne comprends pas votre dernier commentaire. Pourquoi parlez-vous de pi et de ln ?. Pour comprendre ce paragraphe, il faut s'appuyer sur le paragraphe 1


OBSERVATIONS
Je vous remercie de vos commentaires qui font avancer les choses.
Vous avez détectez une erreur de frappe.
Je reconnais que sur la forme, des améliorations peuvent être apportées, mais sur la forme, je peux vous assurer que la conjecture de Goldbach est bien démontrée depuis 1997
JP MORVAN

Anonyme a dit…

Dans la dernière phrase il fallait bien sûr lire « Je reconnais que sur la forme, des améliorations peuvent être apportées, mais sur le fond, je peux vous assurer que la conjecture de Goldbach est bien démontrée depuis 1997 » ; au lieu de « je reconnais que sur la forme, des améliorations peuvent être apportées, mais sur la forme, je peux vous assurer que la conjecture de Goldbach est bien démontrée depuis 1997.
Vous l'aviez sans doute déjà corrigé.
JP MORVAN

Anonyme a dit…

Bonjour,
J'ai déjà lu "A la Recherche du Temps Perdu" de Marcel Proust, qui a la réputation d'être un Himalaya de la lecture. Je dois dire que ce n'est rien à côté de cet Amazone de commentaires que je reconnais n'avoir pas eu le courage de lire in extenso.
Ceci pour dire que j'ai évidemment ma propre démonstration de la conjecture de Goldbach qui tient en deux pages (très suspect!) et une figure. C'est quand même un peu long à transcrire ici, et je ne sais pas comment joindre un document sur ce forum.

BERKOUK a dit…

Bonjour

voici un lien qui concerne ma démonstration

http://vixra.org/pdf/1507.0196v7.pdf

bonne lecture

b.rgds

BERKOUK

Anonyme a dit…

"Vous traitez les cas où l'on supprime les multiples de2, de 3, de 5, des associations et je dis nous avons démontré « nous avons démontré » et j'énonce le cas général .
Oui , j'assume, c'est ma façon de démontrer par récurrence. Elle n'est pas fausse."

Et ce type se prétend mathématicien... quel pitre ! Allez donc vous faire soigner plutôt, à vous lire cela urge !

Unknown a dit…

Je ne prétends pas être mathématicien, je ne suis pas un pitre, je n'ai pas besoin de me faire soigner, comme voudrait le faire croire le commentateur ci-dessus ; mais je prétends avoir démontré la conjecture de Goldbach en 1997 ; cette démonstration reconnue est récompensée en l'an 2000 par un prix de 1 million de dollars . Depuis l'an 2000, j'attends que les mathématiciens spécialisés dans la théorie des nombres reconnaissent cette démonstration.

Pour démontrer cette conjecture , il fallait démontrer que quel que soit le nombre pair, la quantité de possibilités de somme de nombres premiers égale au nombre pair est toujours au moins égale à 1.
Je prétends avoir démontré que quel que soit le nombre pair, la quantité de possibilités de somme de nombres premiers égale au nombre pair est toujours au moins égale à la valeur entière du quart de la racine du nombre pair ; ce qui veut dire :
- lorsque le nombre pair est égal ou supérieur à 16, il existe toujours 1 possibilité de somme de 2 nombres premiers égale au nombre pair.
- lorsque le nombre pair est égal ou supérieur à 64, il existe toujours 2 possibilités de somme de 2 nombres premiers égale au nombre pair.
- lorsque le nombre pair est égal ou supérieur à 144, il existe toujours 3 possibilités de somme de 2 nombres premiers égale au nombre pair.
- lorsque le nombre pair est égal ou supérieur à 256, il existe toujours 4 possibilités de somme de 2 nombres premiers égale au nombre pair.
- lorsque le nombre pair est ….........................................................
Pour tout nombre pair inférieur à 16, il est facile de vérifier qu'il existe toujours au moins 1 possibilité de somme égale au nombre au nombre pair. 
Ni monsieur Jean Marc Fontaine, ni monsieur Jean Benoit Bost, ni monsieur Alain Thiery, ni un autre mathématicien, ni un amateur, ne trouvera un nombre pair dont la quantité de possibilités de somme de 2 nombres premiers (égale au nombre pair) est inférieure à la valeur entière du quart de la racine du nombre pair.

Celui qui ne démontre pas que la quantité de possibilités de somme de nombres premiers (égale au nombre pair) est toujours au moins égale à la valeur entière du quart de la racine du nombre pair ; ne démontre pas la conjecture de Goldbach.
Un commentateur me demandait pourquoi je termine mon commentaire par et je signe, c'est tout simplement pour confirmer ce que j'écris contrairement à certains commentateurs anonymes qui disent n'importe quoi.
La démonstration de la conjecture de Goldbach est sous VIXRA.ORG/Théorie des nombres/1506.121. J'attends que cette démonstration soit reconnue par les mathématiciens.
Et je signe
Jean Pierre MORVAN

Anonyme a dit…

Démonstration de la conjecture binaire de Goldbach-Euler

Bonjour,

Je me permets d'ajouter ce commentaire pour le cas où la résolution de la véracité de cette conjecture vous intéresserait. Il s'agit de celle écrite en 1742 par Euler en répondant à Goldbach que : «Tout nombre Pair est somme de deux nombres premiers » (à cette époque le chiffre 1 était considéré comme étant un nombre premier)

Ayant pour ma part trouvé une astuce bien simple pour démontrer cette véracité, je vous signale que vous pouvez télécharger,
ici : http://codes-sources.commentcamarche.net/source/101870-demonstration-de-la-conjecture-forte-de-goldbach-euler
... les fichiers *.pdf ci-après qui détaillent la théorie à la base de cette démonstration :
- Goldbach_Euler_Résumé_Démo_Tableaux_GG.pdf qui est un résumé succint.
- Goldbach_Euler_Démo_Tableaux_GG.pdf qui est la démonstration complète.

En bref cette démonstration aboutit à la formule simple ci-après qui donne la quantité exacte de fois où la conjecture est réalisée pour un Pair donné, par les nombres Premiers de forme 6k ± 1 (donc en ignorant les Petits Premiers 2 et 3):

QCok = QPrem + Q2C – (Pair – 6) / 6, dans laquelle :

- (Pair - 6) / 6 est égal au nombre de lignes contenant des sommes Petit Impair + Grand Impair = Pair avec Petit Impair de forme 6k ± 1 et Grand Impair = Pair - Petit Impair,

- Qprem = Quantité de nombres Premiers de forme 6k ± 1 et inférieurs au Pair,

- et Q2C = Quantité de lignes ou de sommes du type Petit Composé + Grand Composé = Pair,

- et tout ça avec Petit Impair commençant par le nombre premier 5 et continuant tant que Petit Impair <= Pair / 2.

Compréhensible et vérifiable par un bachelier.
Pour s'en convaincre il suffit d'utiliser par exemple un tableur et une table de nombres premiers et de faire manuellement les comptages adéquats.
Mais vous pouvez aussi télécharger le logiciel GolbachEuler.exe également téléchargeable via le lien précité.

Cordialement.


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